Номер 1.156, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.156. Найдите несколько значений аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает значение, равное:

a) 0;

б) -1;

в) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $-\frac{1}{2}$.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $y = \sin x$ принимает заданные значения, необходимо решить тригонометрическое уравнение $\sin x = a$ для каждого случая. Функция синуса является периодической с периодом $2\pi$, поэтому каждое уравнение будет иметь бесконечное множество решений. В задаче требуется найти лишь несколько из них.

а) Найдём значения аргумента $x$, при которых $\sin x = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями являются точки на единичной окружности, ордината которых равна нулю. Это углы $0, \pi, 2\pi, -\pi$ и так далее.
Общая формула для решений: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).
Придадим $n$ несколько целых значений:

• При $n=0$, $x = \pi \cdot 0 = 0$.
• При $n=1$, $x = \pi \cdot 1 = \pi$.
• При $n=2$, $x = \pi \cdot 2 = 2\pi$.

Ответ: $0$, $\pi$, $2\pi$.

б) Найдём значения аргумента $x$, при которых $\sin x = -1$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Решением является точка на единичной окружности с ординатой $-1$. Это угол $-\frac{\pi}{2}$ или, что то же самое, $\frac{3\pi}{2}$.
Общая формула для решений с учётом периодичности: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Придадим $n$ несколько целых значений:

• При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{2}$.
• При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.
• При $n=2$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2}$.

Выделим целую часть в полученных неправильных дробях: $\frac{3\pi}{2} = 1\frac{1}{2}\pi$, $\frac{7\pi}{2} = 3\frac{1}{2}\pi$.
Ответ: $-\frac{\pi}{2}$, $1\frac{1}{2}\pi$, $3\frac{1}{2}\pi$.

в) Найдём значения аргумента $x$, при которых $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общая формула для решений уравнения $\sin x = a$: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, общая формула: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Придадим $n$ несколько целых значений:

• При $n=0$, $x = (-1)^0 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$.
• При $n=1$, $x = (-1)^1 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$.
• При $n=2$, $x = (-1)^2 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$.

Выделим целую часть в полученной неправильной дроби: $\frac{9\pi}{4} = 2\frac{1}{4}\pi$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $2\frac{1}{4}\pi$.

г) Найдём значения аргумента $x$, при которых $\sin x = -\frac{1}{2}$.
Общая формула для решений: $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, общая формула: $x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Придадим $n$ несколько целых значений:

• При $n=0$, $x = (-1)^{0+1} \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6}$.
• При $n=1$, $x = (-1)^{1+1} \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.
• При $n=2$, $x = (-1)^{2+1} \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.

Выделим целую часть в полученных неправильных дробях: $\frac{7\pi}{6} = 1\frac{1}{6}\pi$, $\frac{11\pi}{6} = 1\frac{5}{6}\pi$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$, $1\frac{1}{6}\pi$, $1\frac{5}{6}\pi$.