Номер 1.158, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.158. Найдите область определения и множество значений функции:

а) $f(x) = 3\sin 2x$;

б) $g(x) = \sin \frac{x}{2} + 5$;

в) $h(x) = -\sin 9x - 5$;

г) $p(x) = 2\sin 7x + 6.$

Область определения:
Функция синус, $\sin(t)$, определена для любого действительного значения своего аргумента $t$. В данном случае аргументом является выражение $2x$. Это выражение определено для любого действительного числа $x$. Умножение на константу 3 также не накладывает никаких ограничений.
Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это множество всех действительных чисел.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f) = \mathbb{R}$.

Множество значений:
Множество значений для стандартной функции синуса — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого аргумента $2x$ справедливо двойное неравенство:
$-1 \le \sin(2x) \le 1$.
Чтобы найти множество значений для $f(x) = 3\sin(2x)$, умножим все части этого неравенства на 3:
$3 \cdot (-1) \le 3 \cdot \sin(2x) \le 3 \cdot 1$
$-3 \le 3\sin(2x) \le 3$
Таким образом, $-3 \le f(x) \le 3$.
Следовательно, множество значений функции $E(f)$ — это отрезок $[-3; 3]$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(f) = [-3; 3]$.

Область определения:
Аргумент функции синус, $\frac{x}{2}$, определен для любого действительного числа $x$. Сама функция синус определена для любого значения своего аргумента. Сложение с константой 5 также не влияет на область определения.
Следовательно, область определения функции $D(g)$ — это множество всех действительных чисел.
$D(g) = (-\infty; +\infty)$ или $D(g) = \mathbb{R}$.

Множество значений:
Значения функции $\sin(\frac{x}{2})$ лежат в отрезке $[-1; 1]$:
$-1 \le \sin\frac{x}{2} \le 1$.
Чтобы найти множество значений для $g(x)$, прибавим ко всем частям неравенства 5:
$-1 + 5 \le \sin\frac{x}{2} + 5 \le 1 + 5$
$4 \le g(x) \le 6$
Следовательно, множество значений функции $E(g)$ — это отрезок $[4; 6]$.

Ответ: Область определения $D(g) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(g) = [4; 6]$.

Область определения:
Выражение $9x$ (аргумент синуса) определено для любого действительного $x$. Функция $\sin(9x)$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Дальнейшие операции (умножение на -1 и вычитание 5) не изменяют область определения.
Следовательно, область определения функции $D(h)$ — это множество всех действительных чисел.
$D(h) = (-\infty; +\infty)$ или $D(h) = \mathbb{R}$.

Множество значений:
Начнем с диапазона значений для $\sin(9x)$:
$-1 \le \sin(9x) \le 1$.
Сначала умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-1) \ge (-1) \cdot \sin(9x) \ge 1 \cdot (-1)$
$1 \ge -\sin(9x) \ge -1$
Запишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему):
$-1 \le -\sin(9x) \le 1$.
Теперь вычтем 5 из всех частей неравенства:
$-1 - 5 \le -\sin(9x) - 5 \le 1 - 5$
$-6 \le h(x) \le -4$
Следовательно, множество значений функции $E(h)$ — это отрезок $[-6; -4]$.

Ответ: Область определения $D(h) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(h) = [-6; -4]$.

Область определения:
Функция синус определена для любого действительного аргумента, а выражение $7x$ является действительным числом для любого $x \in \mathbb{R}$. Операции умножения на 2 и сложения с 6 не накладывают ограничений на $x$.
Следовательно, область определения функции $D(p)$ — это множество всех действительных чисел.
$D(p) = (-\infty; +\infty)$ или $D(p) = \mathbb{R}$.

Множество значений:
Множество значений для $\sin(7x)$ есть отрезок $[-1; 1]$:
$-1 \le \sin(7x) \le 1$.
Умножим все части неравенства на 2 (положительное число, знаки не меняются):
$2 \cdot (-1) \le 2 \cdot \sin(7x) \le 2 \cdot 1$
$-2 \le 2\sin(7x) \le 2$.
Теперь прибавим 6 ко всем частям неравенства:
$-2 + 6 \le 2\sin(7x) + 6 \le 2 + 6$
$4 \le p(x) \le 8$
Следовательно, множество значений функции $E(p)$ — это отрезок $[4; 8]$.

Ответ: Область определения $D(p) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(p) = [4; 8]$.