Номер 1.165, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.165. Используя свойства нечетности и периодичности функции $f(x) = \sin x$, найдите:

а) $f(-\frac{13\pi}{2});$

б) $f(-\frac{47\pi}{2});$

в) $f(-\frac{13\pi}{6});$

г) $f(-9\pi).$

Для решения данной задачи используются два ключевых свойства функции $f(x) = \sin x$:

• Свойство нечетности: для любого $x$ выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin x$.
• Свойство периодичности: для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\sin(x + 2\pi k) = \sin x$. Наименьший положительный период функции синус равен $2\pi$.

а) $f(-\frac{13\pi}{2})$
По определению функции, $f(-\frac{13\pi}{2}) = \sin(-\frac{13\pi}{2})$.
Используя свойство нечетности, получаем: $\sin(-\frac{13\pi}{2}) = -\sin(\frac{13\pi}{2})$.
Теперь воспользуемся периодичностью. Для этого нужно выделить из аргумента $\frac{13\pi}{2}$ целое число периодов, равных $2\pi$. Представим дробь $\frac{13}{2}$ как смешанное число, чтобы выделить целую часть: $\frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$.
Отсюда $\frac{13\pi}{2} = (6 + \frac{1}{2})\pi = 6\pi + \frac{\pi}{2}$.
Так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$, это три полных периода функции, которые можно отбросить:
$-\sin(\frac{13\pi}{2}) = -\sin(6\pi + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$.
Зная табличное значение $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, находим результат:
$-\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Ответ: -1.

б) $f(-\frac{47\pi}{2})$
Используем свойство нечетности: $f(-\frac{47\pi}{2}) = \sin(-\frac{47\pi}{2}) = -\sin(\frac{47\pi}{2})$.
Для применения свойства периодичности представим аргумент $\frac{47\pi}{2}$ в виде, удобном для выделения периода $2\pi$. Для этого представим числитель 47 через ближайшее число, делящееся на 4 (так как в знаменателе 2, $4\pi/2 = 2\pi$): $47 = 48 - 1$.
$\frac{47\pi}{2} = \frac{48\pi - \pi}{2} = \frac{48\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 24\pi - \frac{\pi}{2}$.
Величина $24\pi = 12 \cdot 2\pi$ является двенадцатью полными периодами, поэтому её можно отбросить:
$-\sin(\frac{47\pi}{2}) = -\sin(24\pi - \frac{\pi}{2}) = -\sin(-\frac{\pi}{2})$.
Снова применяем свойство нечетности $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$:
$-\sin(-\frac{\pi}{2}) = -(-\sin(\frac{\pi}{2})) = \sin(\frac{\pi}{2})$.
Поскольку $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:
$f(-\frac{47\pi}{2}) = 1$.
Ответ: 1.

в) $f(-\frac{13\pi}{6})$
По свойству нечетности: $f(-\frac{13\pi}{6}) = \sin(-\frac{13\pi}{6}) = -\sin(\frac{13\pi}{6})$.
Применим свойство периодичности. Выделим целую часть из дроби $\frac{13}{6}$: $\frac{13}{6} = 2\frac{1}{6}$.
Следовательно, $\frac{13\pi}{6} = (2 + \frac{1}{6})\pi = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.
Отбрасываем один полный период $2\pi$:
$-\sin(\frac{13\pi}{6}) = -\sin(2\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Зная табличное значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, находим ответ:
$f(-\frac{13\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: -1/2.

г) $f(-9\pi)$
По свойству нечетности: $f(-9\pi) = \sin(-9\pi) = -\sin(9\pi)$.
Используем свойство периодичности. Представим $9\pi$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $2\pi$: $9\pi = 8\pi + \pi$.
Величина $8\pi = 4 \cdot 2\pi$ соответствует четырем полным периодам, которые можно отбросить:
$-\sin(9\pi) = -\sin(8\pi + \pi) = -\sin(\pi)$.
Так как $\sin(\pi) = 0$, получаем:
$f(-9\pi) = -0 = 0$.
Ответ: 0.