Номер 1.172, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.172. Используя свойства функции $f(x) = \sin x$, докажите, что:

a) $\sin 15^\circ < \sin 35^\circ$;

б) $\sin 100^\circ < \sin 140^\circ$.

а) Для доказательства неравенства $\sin 15^\circ < \sin 35^\circ$ используем свойства функции $f(x) = \sin x$.
Аргументы функции, углы $15^\circ$ и $35^\circ$, находятся в промежутке $[0^\circ; 90^\circ]$. На этом промежутке функция $y = \sin x$ является строго возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Поскольку $15^\circ < 35^\circ$, то из свойства возрастания функции синус следует, что $\sin 15^\circ < \sin 35^\circ$.
Ответ: Неравенство $\sin 15^\circ < \sin 35^\circ$ является верным, так как на промежутке $[0^\circ; 90^\circ]$ функция синус возрастает, и $15^\circ < 35^\circ$.

б) Рассмотрим неравенство $\sin 100^\circ < \sin 140^\circ$.
Для его анализа можно использовать два подхода, основанных на свойствах функции $f(x) = \sin x$.
1. Монотонность во второй четверти.
Углы $100^\circ$ и $140^\circ$ принадлежат промежутку $[90^\circ; 180^\circ]$. На этом промежутке функция $y = \sin x$ является строго убывающей. Это значит, что для двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\sin x_1 > \sin x_2$.
Так как $100^\circ < 140^\circ$, то должно выполняться неравенство $\sin 100^\circ > \sin 140^\circ$.
2. Формулы приведения.
Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, преобразуем выражения:
$\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$
$\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$
Исходное неравенство $\sin 100^\circ < \sin 140^\circ$ становится эквивалентно неравенству $\sin 80^\circ < \sin 40^\circ$.
Однако углы $40^\circ$ и $80^\circ$ лежат в первой четверти ($[0^\circ; 90^\circ]$), где синус возрастает. Поскольку $40^\circ < 80^\circ$, то $\sin 40^\circ < \sin 80^\circ$.
Оба метода показывают, что исходное неравенство в условии задачи неверно.
Ответ: Утверждение в задаче неверно. Правильным является неравенство $\sin 100^\circ > \sin 140^\circ$.