Номер 1.173, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.173. Сравните значения выражений:

a) $\sin\frac{7\pi}{6}$ и $\sin\frac{5\pi}{6}$;

б) $\sin\left(-\frac{11\pi}{6}\right)$ и $\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$.

Для сравнения значений выражений необходимо вычислить каждое из них, используя тригонометрические формулы приведения и значения синусов для основных углов.

а) Сравнить $sin\frac{7\pi}{6}$ и $sin\frac{5\pi}{6}$

1. Вычислим значение $sin\frac{7\pi}{6}$.

Аргумент является неправильной дробью. Выделим целую часть: $\frac{7\pi}{6} = (1 + \frac{1}{6})\pi = \pi + \frac{\pi}{6}$.

Используем формулу приведения $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$. Угол $\pi + \frac{\pi}{6}$ находится в III четверти, где синус отрицателен.

$sin\frac{7\pi}{6} = sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

2. Вычислим значение $sin\frac{5\pi}{6}$.

Представим угол в виде разности: $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.

Используем формулу приведения $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$. Угол $\pi - \frac{\pi}{6}$ находится во II четверти, где синус положителен.

$sin\frac{5\pi}{6} = sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

3. Сравним полученные значения.

$-\frac{1}{2} < \frac{1}{2}$

Следовательно, $sin\frac{7\pi}{6} < sin\frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $sin\frac{7\pi}{6} < sin\frac{5\pi}{6}$.

б) Сравнить $sin(-\frac{11\pi}{6})$ и $sin(-\frac{3\pi}{2})$

1. Вычислим значение $sin(-\frac{11\pi}{6})$.

Синус — нечетная функция, поэтому $sin(-x) = -sin(x)$.

$sin(-\frac{11\pi}{6}) = -sin(\frac{11\pi}{6})$

Аргумент $\frac{11\pi}{6}$ является неправильной дробью. Выделим целую часть: $\frac{11\pi}{6} = (1 + \frac{5}{6})\pi = \pi + \frac{5\pi}{6}$.

Применим формулу приведения $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$:

$-sin(\frac{11\pi}{6}) = -sin(\pi + \frac{5\pi}{6}) = -(-sin\frac{5\pi}{6}) = sin\frac{5\pi}{6}$

Как мы уже знаем из пункта а), $sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $sin(-\frac{11\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Альтернативный способ для $sin(\frac{11\pi}{6})$: $\frac{11\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$. Тогда $sin(\frac{11\pi}{6}) = sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Следовательно, $-sin(\frac{11\pi}{6}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

2. Вычислим значение $sin(-\frac{3\pi}{2})$.

Используем свойство нечетности синуса:

$sin(-\frac{3\pi}{2}) = -sin(\frac{3\pi}{2})$

Аргумент $\frac{3\pi}{2}$ является неправильной дробью. Выделим целую часть: $\frac{3\pi}{2} = (1 + \frac{1}{2})\pi = \pi + \frac{\pi}{2}$.

Применим формулу приведения $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$:

$-sin(\frac{3\pi}{2}) = -sin(\pi + \frac{\pi}{2}) = -(-sin\frac{\pi}{2}) = sin\frac{\pi}{2}$

Значение $sin\frac{\pi}{2}$ равно 1.

Таким образом, $sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$.

3. Сравним полученные значения.

$\frac{1}{2} < 1$

Следовательно, $sin(-\frac{11\pi}{6}) < sin(-\frac{3\pi}{2})$.

Ответ: $sin(-\frac{11\pi}{6}) < sin(-\frac{3\pi}{2})$.