Номер 1.175, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.175. Постройте график функции:

а) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right);$

б) $y = \sin x + 2;$

в) $y = \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right);$

г) $y = \sin x - 1;$

д) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 3;$

е) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 1.$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразований графика базовой функции $y = \sin(x)$. Общий вид преобразованной функции: $y = A \sin(B(x-C)) + D$. В нашем случае амплитуда $A=1$ и частота $B=1$ для всех функций, поэтому мы имеем дело только со сдвигами (смещениями) графика.

• Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг): определяется величиной $C$. График сдвигается на $|C|$ единиц вправо, если $C > 0$, и влево, если $C < 0$. Функция имеет вид $y = \sin(x-C)$.
• Вертикальный сдвиг: определяется величиной $D$. График сдвигается на $|D|$ единиц вверх, если $D > 0$, и вниз, если $D < 0$. Функция имеет вид $y = \sin(x) + D$.

Базовый график $y = \sin(x)$ — это синусоида с периодом $2\pi$, проходящая через начало координат $(0,0)$, с максимумом в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и минимумом в точке $(\frac{3\pi}{2}, -1)$.

Чтобы построить график функции $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$, необходимо сдвинуть график функции $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (OX).

В данном случае мы имеем преобразование вида $y = f(x-C)$, где $f(x)=\sin(x)$ и $C = \frac{\pi}{6}$. Так как $C > 0$, сдвиг выполняется вправо на $\frac{\pi}{6}$ единиц.

Каждая точка графика $y = \sin(x)$ смещается на $\frac{\pi}{6}$ вправо. Рассмотрим ключевые точки на одном периоде:

• Начальная точка $(0, 0)$ переходит в точку $\left(0+\frac{\pi}{6}, 0\right) = \left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$.
• Точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переходит в точку $\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}, 1\right) = \left(\frac{3\pi+\pi}{6}, 1\right) = \left(\frac{4\pi}{6}, 1\right) = \left(\frac{2\pi}{3}, 1\right)$.
• Нулевая точка $(\pi, 0)$ переходит в точку $\left(\pi+\frac{\pi}{6}, 0\right) = \left(\frac{7\pi}{6}, 0\right)$.
• Точка минимума $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$ переходит в точку $\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{6}, -1\right) = \left(\frac{9\pi+\pi}{6}, -1\right) = \left(\frac{10\pi}{6}, -1\right) = \left(\frac{5\pi}{3}, -1\right)$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ получается путем сдвига графика функции $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{6}$ вправо вдоль оси OX.

Чтобы построить график функции $y = \sin x + 2$, необходимо сдвинуть график функции $y = \sin(x)$ вдоль оси ординат (OY).

В данном случае мы имеем преобразование вида $y = f(x) + D$, где $f(x)=\sin(x)$ и $D = 2$. Так как $D > 0$, сдвиг выполняется вверх на 2 единицы.

Каждая точка графика $y = \sin(x)$ смещается на 2 единицы вверх. Рассмотрим ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0, 0+2) = (0, 2)$.
• Точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переходит в точку $\left(\frac{\pi}{2}, 1+2\right) = \left(\frac{\pi}{2}, 3\right)$.
• Точка $(\pi, 0)$ переходит в точку $(\pi, 0+2) = (\pi, 2)$.
• Точка минимума $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$ переходит в точку $\left(\frac{3\pi}{2}, -1+2\right) = \left(\frac{3\pi}{2}, 1\right)$.

Ось симметрии синусоиды смещается с $y=0$ на $y=2$. Область значений функции становится $[1, 3]$.

Ответ: График функции $y = \sin x + 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \sin(x)$ на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

Чтобы построить график функции $y = \sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)$, необходимо сдвинуть график функции $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (OX).

Функцию можно представить в виде $y = \sin\left(x - \left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)$. Это преобразование вида $y = f(x-C)$, где $C = -\frac{2\pi}{3}$. Так как $C < 0$, сдвиг выполняется влево на $\frac{2\pi}{3}$ единиц.

Каждая точка графика $y = \sin(x)$ смещается на $\frac{2\pi}{3}$ влево. Рассмотрим ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в точку $\left(0-\frac{2\pi}{3}, 0\right) = \left(-\frac{2\pi}{3}, 0\right)$.
• Точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переходит в точку $\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}, 1\right) = \left(\frac{3\pi-4\pi}{6}, 1\right) = \left(-\frac{\pi}{6}, 1\right)$.
• Точка $(\pi, 0)$ переходит в точку $\left(\pi-\frac{2\pi}{3}, 0\right) = \left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$.
• Точка минимума $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$ переходит в точку $\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}, -1\right) = \left(\frac{9\pi-4\pi}{6}, -1\right) = \left(\frac{5\pi}{6}, -1\right)$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)$ получается путем сдвига графика функции $y = \sin(x)$ на $\frac{2\pi}{3}$ влево вдоль оси OX.

Чтобы построить график функции $y = \sin x - 1$, необходимо сдвинуть график функции $y = \sin(x)$ вдоль оси ординат (OY).

Это преобразование вида $y = f(x) + D$, где $D = -1$. Так как $D < 0$, сдвиг выполняется вниз на 1 единицу.

Каждая точка графика $y = \sin(x)$ смещается на 1 единицу вниз. Рассмотрим ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0, 0-1) = (0, -1)$.
• Точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переходит в точку $\left(\frac{\pi}{2}, 1-1\right) = \left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$.
• Точка $(\pi, 0)$ переходит в точку $(\pi, 0-1) = (\pi, -1)$.
• Точка минимума $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$ переходит в точку $\left(\frac{3\pi}{2}, -1-1\right) = \left(\frac{3\pi}{2}, -2\right)$.

Ось симметрии синусоиды смещается с $y=0$ на $y=-1$. Область значений функции становится $[-2, 0]$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \sin(x)$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Для построения графика этой функции необходимо выполнить два последовательных сдвига графика $y=\sin(x)$:

1. Горизонтальный сдвиг влево на $\frac{\pi}{6}$ (так как в аргументе стоит $x+\frac{\pi}{6}$).
2. Вертикальный сдвиг вниз на 3 (так как от функции отнимается 3).

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin(x)$ переходит в точку $(x_0-\frac{\pi}{6}, y_0-3)$. Рассмотрим ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $\left(0-\frac{\pi}{6}, 0-3\right) = \left(-\frac{\pi}{6}, -3\right)$.
• Точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переходит в $\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}, 1-3\right) = \left(\frac{2\pi}{6}, -2\right) = \left(\frac{\pi}{3}, -2\right)$.
• Точка $(\pi, 0)$ переходит в $\left(\pi-\frac{\pi}{6}, 0-3\right) = \left(\frac{5\pi}{6}, -3\right)$.
• Точка минимума $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$ переходит в $\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{6}, -1-3\right) = \left(\frac{8\pi}{6}, -4\right) = \left(\frac{4\pi}{3}, -4\right)$.

Область значений функции становится $[-1-3, 1-3] = [-4, -2]$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) - 3$ получается путем сдвига графика $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси OX и на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

Для построения графика этой функции необходимо выполнить два последовательных сдвига графика $y=\sin(x)$:

1. Горизонтальный сдвиг вправо на $\frac{\pi}{3}$ (так как в аргументе стоит $x-\frac{\pi}{3}$).
2. Вертикальный сдвиг вверх на 1 (так как к функции прибавляется 1).

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin(x)$ переходит в точку $(x_0+\frac{\pi}{3}, y_0+1)$. Рассмотрим ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $\left(0+\frac{\pi}{3}, 0+1\right) = \left(\frac{\pi}{3}, 1\right)$.
• Точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переходит в $\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}, 1+1\right) = \left(\frac{5\pi}{6}, 2\right)$.
• Точка $(\pi, 0)$ переходит в $\left(\pi+\frac{\pi}{3}, 0+1\right) = \left(\frac{4\pi}{3}, 1\right)$.
• Точка минимума $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$ переходит в $\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{3}, -1+1\right) = \left(\frac{11\pi}{6}, 0\right)$.

Область значений функции становится $[-1+1, 1+1] = [0, 2]$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) + 1$ получается путем сдвига графика $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо вдоль оси OX и на 1 единицу вверх вдоль оси OY.