Номер 1.182, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.182. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \cos x$, найдите:

a) $\cos \frac{7\pi}{3}$;

б) $\cos \frac{25\pi}{6}$;

в) $\cos \frac{17\pi}{4}$;

г) $\cos 19\pi$.

Верно ли, что число $8\pi$ является периодом данной функции?

Для решения данной задачи воспользуемся свойством периодичности функции $f(x) = \cos x$. Наименьший положительный период этой функции равен $T = 2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\cos(x + 2\pi k) = \cos x$.

а) Чтобы найти значение $\cos\frac{7\pi}{3}$, необходимо выделить из аргумента целое число периодов. Для этого представим неправильную дробь $\frac{7}{3}$ в виде смешанного числа, выделив таким образом целую часть:$$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$$Теперь преобразуем аргумент косинуса:$$\cos\frac{7\pi}{3} = \cos\left(\left(2 + \frac{1}{3}\right)\pi\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right)$$Так как $2\pi$ является периодом косинуса, мы можем его отбросить:$$\cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Чтобы найти значение $\cos\frac{25\pi}{6}$, выделим целую часть из дроби $\frac{25}{6}$:$$\frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$$Преобразуем аргумент косинуса:$$\cos\frac{25\pi}{6} = \cos\left(\left(4 + \frac{1}{6}\right)\pi\right) = \cos\left(4\pi + \frac{\pi}{6}\right)$$Число $4\pi$ является периодом функции косинус, так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$. Используя свойство периодичности ($\cos(x + 2\pi k) = \cos x$ при $k=2$), получаем:$$\cos\left(4\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Чтобы найти значение $\cos\frac{17\pi}{4}$, выделим целую часть из дроби $\frac{17}{4}$:$$\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$$Преобразуем аргумент косинуса:$$\cos\frac{17\pi}{4} = \cos\left(\left(4 + \frac{1}{4}\right)\pi\right) = \cos\left(4\pi + \frac{\pi}{4}\right)$$Число $4\pi$ также является периодом ($k=2$). Следовательно:$$\cos\left(4\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Чтобы найти значение $\cos(19\pi)$, выделим из аргумента четное число $\pi$, кратное периоду $2\pi$:$$19\pi = 18\pi + \pi$$Число $18\pi$ является периодом функции косинус, так как $18\pi = 9 \cdot 2\pi$ (здесь $k=9$). Таким образом:$$\cos(19\pi) = \cos(18\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$$Ответ: $-1$.

Верно ли, что число 8π является периодом данной функции?

Да, утверждение верно. По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Наименьший положительный период функции $f(x) = \cos x$ равен $2\pi$. Любое число вида $T_k = k \cdot 2\pi$, где $k$ — целое ненулевое число, также является периодом этой функции.
Число $8\pi$ можно представить в виде $8\pi = 4 \cdot 2\pi$.
Так как $k=4$ является целым числом, то $8\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos x$.
Проверим:$$\cos(x + 8\pi) = \cos(x + 4 \cdot 2\pi) = \cos x$$Равенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: Да, верно.