Номер 1.186, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.186. Исследуйте функцию на четность (нечетность):

а) $f(x) = \cos8x;$

б) $g(x) = x \cdot \cos2x;$

в) $h(x) = x^2 - \cos x;$

г) $p(x) = \cos\frac{x}{5} - x.$

Для исследования функции на четность (нечетность) необходимо проверить, выполняется ли для любого $x$ из симметричной области определения одно из условий:

• $f(-x) = f(x)$ - функция четная.
• $f(-x) = -f(x)$ - функция нечетная.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

а) Исследуем функцию $f(x) = \cos(8x)$.
Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \cos(8(-x)) = \cos(-8x)$.
Поскольку функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, имеем:
$f(-x) = \cos(8x) = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения, функция является четной.
Ответ: четная.

б) Исследуем функцию $g(x) = x \cdot \cos(2x)$.
Область определения $D(g) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем $g(-x)$:
$g(-x) = (-x) \cdot \cos(2(-x)) = -x \cdot \cos(-2x)$.
Используя свойство четности косинуса, $\cos(-2x) = \cos(2x)$, получаем:
$g(-x) = -x \cdot \cos(2x) = -(x \cdot \cos(2x)) = -g(x)$.
Так как $g(-x) = -g(x)$ для любого $x$ из области определения, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

в) Исследуем функцию $h(x) = x^2 - \cos(x)$.
Область определения $D(h) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = (-x)^2 - \cos(-x)$.
Функция $y=x^2$ является четной ($(-x)^2=x^2$), и функция $y=\cos(x)$ также является четной ($\cos(-x)=\cos(x)$). Разность двух четных функций является четной функцией.
$h(-x) = x^2 - \cos(x) = h(x)$.
Так как $h(-x) = h(x)$ для любого $x$ из области определения, функция является четной.
Ответ: четная.

г) Исследуем функцию $p(x) = \cos\frac{x}{5} - x$.
Область определения $D(p) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем $p(-x)$:
$p(-x) = \cos\frac{-x}{5} - (-x) = \cos(-\frac{x}{5}) + x$.
Используя свойство четности косинуса, $\cos(-\frac{x}{5}) = \cos\frac{x}{5}$, получаем:
$p(-x) = \cos\frac{x}{5} + x$.
Сравним полученное выражение с $p(x)$ и $-p(x)$:
$p(x) = \cos\frac{x}{5} - x$.
$-p(x) = -(\cos\frac{x}{5} - x) = -\cos\frac{x}{5} + x$.
Очевидно, что $p(-x) \neq p(x)$ (так как $\cos\frac{x}{5} + x \neq \cos\frac{x}{5} - x$ при $x \neq 0$) и $p(-x) \neq -p(x)$ (так как $\cos\frac{x}{5} + x \neq -\cos\frac{x}{5} + x$ при $\cos\frac{x}{5} \neq 0$).
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.