Номер 1.188, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.188. Верно ли, что нулями функции $f(x) = \cos x$ являются числа:

а) $\frac{\pi}{2}$;

б) $\pi$;

в) $\frac{9\pi}{2}$;

г) $-5\pi$;

д) $-6\pi$;

е) $-\frac{11\pi}{2}$?

Из данных чисел выберите значения аргумента, при которых функция $f(x) = \cos x$ принимает наименьшее значение.

Для ответа на первый вопрос необходимо определить, являются ли указанные числа корнями уравнения $f(x) = 0$, то есть $\cos x = 0$.
Общее решение уравнения $\cos x = 0$ дается формулой $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Проверим каждое из предложенных чисел, подставив его в формулу и определив, будет ли $n$ целым числом.

а) $\frac{\pi}{2}$;
Подставим в формулу: $\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Отсюда следует, что $\pi n = 0$, то есть $n=0$. Поскольку $n=0$ является целым числом, данное число — нуль функции.
Ответ: Да.

б) $\pi$;
Подставим в формулу: $\pi = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Разделив обе части на $\pi$, получим $1 = \frac{1}{2} + n$, откуда $n = \frac{1}{2}$. Поскольку $n=\frac{1}{2}$ не является целым числом, данное число не является нулем функции. (Также известно, что $\cos(\pi) = -1$).
Ответ: Нет.

в) $\frac{9\pi}{2}$;
Подставим в формулу: $\frac{9\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Разделив на $\pi$, получим $\frac{9}{2} = \frac{1}{2} + n$, откуда $n = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Поскольку $n=4$ — целое число, данное число является нулем функции.
Целая часть от неправильной дроби $\frac{9}{2} = 4.5$ равна 4.
Ответ: Да.

г) $-5\pi$;
Подставим в формулу: $-5\pi = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Разделив на $\pi$, получим $-5 = \frac{1}{2} + n$, откуда $n = -5.5$. Поскольку $n=-5.5$ не является целым числом, данное число не является нулем функции. (Также известно, что $\cos(-5\pi) = -1$).
Ответ: Нет.

д) $-6\pi$;
Подставим в формулу: $-6\pi = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Разделив на $\pi$, получим $-6 = \frac{1}{2} + n$, откуда $n = -6.5$. Поскольку $n=-6.5$ не является целым числом, данное число не является нулем функции. (Также известно, что $\cos(-6\pi) = 1$).
Ответ: Нет.

е) $-\frac{11\pi}{2}$?
Подставим в формулу: $-\frac{11\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Разделив на $\pi$, получим $-\frac{11}{2} = \frac{1}{2} + n$, откуда $n = -\frac{11}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{12}{2} = -6$. Поскольку $n=-6$ — целое число, данное число является нулем функции.
Целая часть от неправильной дроби $-\frac{11}{2} = -5.5$ равна -6.
Ответ: Да.

Для ответа на второй вопрос необходимо найти, при каких из данных значений $x$ функция $f(x) = \cos x$ принимает наименьшее значение.
Область значений функции косинус — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, наименьшее значение функции равно -1.
Значение $\cos x = -1$ достигается при $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Это означает, что аргумент $x$ должен быть нечетным целым числом, умноженным на $\pi$.
Проверим каждое из данных чисел:

• При $x=\frac{\pi}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
• При $x=\pi$, $\cos(\pi) = -1$. Это наименьшее значение.
• При $x=\frac{9\pi}{2}$, $\cos(\frac{9\pi}{2}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
• При $x=-5\pi$, $\cos(-5\pi) = \cos(5\pi) = \cos(4\pi+\pi) = \cos(\pi) = -1$. Это наименьшее значение.
• При $x=-6\pi$, $\cos(-6\pi) = \cos(6\pi) = 1$. (Это наибольшее значение).
• При $x=-\frac{11\pi}{2}$, $\cos(-\frac{11\pi}{2}) = \cos(\frac{11\pi}{2}) = 0$.

Ответ: Наименьшее значение функция $f(x) = \cos x$ из предложенных чисел принимает при $x = \pi$ и $x = -5\pi$.