Номер 1.184, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.184. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \cos x$, найдите:

а) $\cos 420^{\circ}$;

б) $\cos(-405^{\circ})$;

в) $\cos 720^{\circ}$;

г) $\cos(-1170^{\circ})$.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство периодичности и чётности функции косинус.

Основное свойство периодичности функции $f(x) = \cos x$ заключается в том, что её значения повторяются через каждый полный оборот, равный $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Это можно записать формулой: $\cos(\alpha) = \cos(\alpha + n \cdot 360^\circ)$, где $n$ — любое целое число.

Свойство чётности функции косинус означает, что для любого угла $\alpha$ справедливо равенство: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

а) cos 420°;

Представим угол $420^\circ$ как сумму полного оборота и остатка: $420^\circ = 360^\circ + 60^\circ$. Используя свойство периодичности, отбрасываем полный оборот: $\cos(420^\circ) = \cos(360^\circ + 60^\circ) = \cos(60^\circ)$. Значение $\cos(60^\circ)$ является табличным значением тригонометрических функций. $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) cos(-405°);

Сначала применим свойство чётности функции косинус, чтобы избавиться от отрицательного знака в аргументе: $\cos(-405^\circ) = \cos(405^\circ)$. Теперь представим угол $405^\circ$ через полный оборот: $405^\circ = 360^\circ + 45^\circ$. Применяем свойство периодичности: $\cos(405^\circ) = \cos(360^\circ + 45^\circ) = \cos(45^\circ)$. Табличное значение $\cos(45^\circ)$: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) cos 720°;

Угол $720^\circ$ представляет собой два полных оборота, так как $720^\circ = 2 \cdot 360^\circ$. Представим его в виде $720^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 0^\circ$. Используя свойство периодичности, получаем: $\cos(720^\circ) = \cos(2 \cdot 360^\circ + 0^\circ) = \cos(0^\circ)$. Табличное значение $\cos(0^\circ)$: $\cos(0^\circ) = 1$.

Ответ: 1

г) cos(-1170°).

Воспользуемся свойством чётности: $\cos(-1170^\circ) = \cos(1170^\circ)$. Чтобы упростить угол $1170^\circ$, найдем, сколько полных оборотов по $360^\circ$ в него входит: $1170 \div 360 = 3$ с остатком. $3 \cdot 360^\circ = 1080^\circ$. Теперь представим $1170^\circ$ в виде суммы: $1170^\circ = 1080^\circ + 90^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 90^\circ$. Применяем свойство периодичности: $\cos(1170^\circ) = \cos(3 \cdot 360^\circ + 90^\circ) = \cos(90^\circ)$. Табличное значение $\cos(90^\circ)$: $\cos(90^\circ) = 0$.

Ответ: 0