Номер 1.177, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.177. С помощью графика функции $y = \cos x$ определите, верно ли, что:

а) при значении аргумента, равном $\pi$, значение функции равно $-1$;

б) число $\frac{5\pi}{2}$ является нулем функции;

в) $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$;

г) $\cos\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) Чтобы определить, верно ли утверждение, нужно посмотреть на график функции $y = \cos x$. При значении аргумента $x = \pi$, график достигает своей минимальной точки. Значение функции в этой точке равно $-1$. Таким образом, равенство $\cos(\pi) = -1$ является верным.
Ответ: верно.

б) Нуль функции – это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Нам необходимо проверить, верно ли равенство $\cos(\frac{5\pi}{2}) = 0$. Аргумент $x=\frac{5\pi}{2}$ содержит неправильную дробь $\frac{5}{2}$. Выделим из неё целую часть: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$. Тогда можно переписать аргумент как $x = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Используя свойство периодичности функции косинус, период которой равен $2\pi$, получаем: $\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2})$. Из графика функции $y = \cos x$ известно, что при $x = \frac{\pi}{2}$ функция пересекает ось абсцисс, то есть её значение равно 0. Следовательно, число $\frac{5\pi}{2}$ является нулем функции.
Ответ: верно.

в) Проверим равенство $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Функция $y = \cos x$ является четной, что означает $\cos(-x) = \cos(x)$ для любого $x$. Следовательно, $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$. Из графика функции или из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Таким образом, утверждение верно.
Ответ: верно.

г) Проверим равенство $\cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Аргумент $x = \frac{3\pi}{4}$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, что соответствует второй координатной четверти. На этом интервале график функции $y = \cos x$ расположен ниже оси $x$, поэтому значения косинуса отрицательны. Однако, число $\frac{\sqrt{2}}{2}$ является положительным. Следовательно, равенство неверно. Корректное значение: $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: неверно.