Номер 1.170, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.170. Верно ли, что $\sin x > 0$, если:

a) $x \in (0; \frac{\pi}{2})$;

б) $x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi)$;

в) $x \in (\frac{5\pi}{2}; 3\pi)$;

г) $x \in (-\frac{3\pi}{2}; -\pi)$?

Для решения задачи определим, в каких координатных четвертях синус положителен. Условие $\sin x > 0$ выполняется, когда угол $x$ принадлежит первой или второй координатной четверти. На единичной окружности это соответствует верхней полуплоскости. В радианах это интервалы вида $(2\pi n; \pi + 2\pi n)$, где $n$ - целое число.

а) $x \in (0; \frac{\pi}{2})$Интервал $(0; \frac{\pi}{2})$ полностью соответствует первой координатной четверти. В этой четверти синус всегда имеет положительное значение ($\sin x > 0$). Следовательно, утверждение верно. Ответ: верно.

б) $x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi)$Рассмотрим интервал $x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi)$. Представим левую границу, выделив целую часть: $-\frac{5\pi}{2} = -\mathbf{2}\frac{1}{2}\pi$. Чтобы определить положение на единичной окружности, приведем интервал к основному периоду, прибавив $4\pi$ (два полных оборота) к его границам: $(-\frac{5\pi}{2} + 4\pi; -2\pi + 4\pi) = (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$. Этот интервал соответствует четвертой координатной четверти, где синус отрицателен ($\sin x < 0$). Следовательно, утверждение неверно. Ответ: неверно.

в) $x \in (\frac{5\pi}{2}; 3\pi)$Рассмотрим интервал $x \in (\frac{5\pi}{2}; 3\pi)$. Представим левую границу, выделив целую часть: $\frac{5\pi}{2} = \mathbf{2}\frac{1}{2}\pi$. Приведем интервал к основному периоду, вычтя $2\pi$ (один полный оборот) из его границ: $(\frac{5\pi}{2} - 2\pi; 3\pi - 2\pi) = (\frac{\pi}{2}; \pi)$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где синус положителен ($\sin x > 0$). Следовательно, утверждение верно. Ответ: верно.

г) $x \in (-\frac{3\pi}{2}; -\pi)$Рассмотрим интервал $x \in (-\frac{3\pi}{2}; -\pi)$. Представим левую границу, выделив целую часть: $-\frac{3\pi}{2} = -\mathbf{1}\frac{1}{2}\pi$. Приведем интервал к основному периоду, прибавив $2\pi$ (один полный оборот) к его границам: $(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi; -\pi + 2\pi) = (\frac{\pi}{2}; \pi)$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где синус положителен ($\sin x > 0$). Следовательно, утверждение верно. Ответ: верно.