Номер 1.169, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.169. Из чисел $-\frac{10\pi}{3}$; $-\frac{5\pi}{2}$; $-\frac{11\pi}{6}$; $-\frac{5\pi}{4}$; $-\frac{\pi}{4}$; $0$; $\frac{7\pi}{8}$; $\frac{13\pi}{12}$; $\frac{5\pi}{2}$ выберите значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает отрицательные значения.

Функция $y = \sin x$ принимает отрицательные значения, когда аргумент $x$ является углом, конечная сторона которого находится в III или IV координатной четверти. Это условие можно записать в виде неравенства: $\pi + 2\pi k < x < 2\pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Проанализируем каждое из предложенных значений:

$-\frac{10\pi}{3}$: Для определения четверти найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$. Для этого прибавим $4\pi$ (два полных оборота):$-\frac{10\pi}{3} + 4\pi = -\frac{10\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во II четверти, где синус положителен ($\sin(\frac{2\pi}{3}) > 0$). Следовательно, данное значение не подходит.

$-\frac{5\pi}{2}$: Найдем эквивалентный угол в промежутке $(-2\pi, 0]$, прибавив $2\pi$:$-\frac{5\pi}{2} + 2\pi = -\frac{5\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.$\sin(-\frac{5\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Значение синуса отрицательно, поэтому данный аргумент подходит. Ответ: $-2\frac{1}{2}\pi$.

$-\frac{11\pi}{6}$: Найдем эквивалентный угол в промежутке $(-2\pi, 0]$, прибавив $2\pi$:$-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = -\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ находится в I четверти, где синус положителен ($\sin(\frac{\pi}{6}) > 0$). Следовательно, данное значение не подходит.

$-\frac{5\pi}{4}$: Найдем эквивалентный угол в промежутке $(-2\pi, 0]$, прибавив $2\pi$:$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi = -\frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во II четверти, где синус положителен ($\sin(\frac{3\pi}{4}) > 0$). Следовательно, данное значение не подходит.

$-\frac{\pi}{4}$: Данный угол находится в IV четверти. Синус в IV четверти отрицателен ($\sin(-\frac{\pi}{4}) < 0$). Следовательно, данный аргумент подходит. Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

$0$: $\sin(0) = 0$. Нуль не является отрицательным числом, поэтому данное значение не подходит.

$\frac{7\pi}{8}$: Угол $\frac{7\pi}{8}$ находится во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{8} < \pi$. Синус во II четверти положителен ($\sin(\frac{7\pi}{8}) > 0$). Следовательно, данное значение не подходит.

$\frac{13\pi}{12}$: Угол $\frac{13\pi}{12}$ находится в III четверти, так как $\pi < \frac{13\pi}{12} < \frac{3\pi}{2}$. Синус в III четверти отрицателен ($\sin(\frac{13\pi}{12}) < 0$). Следовательно, данный аргумент подходит. Ответ: $1\frac{1}{12}\pi$.

$\frac{5\pi}{2}$: Найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, вычтя $2\pi$:$\frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.$\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Значение синуса положительно. Следовательно, данное значение не подходит.