Номер 1.168, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.168. Найдите нули функции:

а) $y = \sin 2x$;

б) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

в) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{5}\right)$;

г) $y = \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Нули функции – это значения аргумента (x), при которых значение функции (y) равно нулю. Чтобы найти нули для каждой из заданных функций, необходимо приравнять y к нулю и решить полученное тригонометрическое уравнение.

Общее решение уравнения $\sin(t) = 0$ имеет вид $t = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).

а) $y = \sin(2x)$

Приравниваем функцию к нулю:

$\sin(2x) = 0$

Согласно общему решению для синуса, аргумент функции должен быть равен $\pi k$:

$2x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

б) $y = \sin(x - \frac{\pi}{4})$

Приравниваем функцию к нулю:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0$

Аргумент синуса приравниваем к $\pi k$:

$x - \frac{\pi}{4} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти x, перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

в) $y = \sin(x + \frac{\pi}{5})$

Приравниваем функцию к нулю:

$\sin(x + \frac{\pi}{5}) = 0$

Аргумент синуса приравниваем к $\pi k$:

$x + \frac{\pi}{5} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти x, перенесем $\frac{\pi}{5}$ в правую часть уравнения:

$x = -\frac{\pi}{5} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{5} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

г) $y = \sin(3x - \frac{\pi}{3})$

Приравниваем функцию к нулю:

$\sin(3x - \frac{\pi}{3}) = 0$

Аргумент синуса приравниваем к $\pi k$:

$3x - \frac{\pi}{3} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Сначала перенесем $-\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\frac{\pi}{3} + \pi k}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$