Номер 1.166, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.166. Из чисел $-10\pi$; $-\frac{7\pi}{2}$; $-3\pi$; $-\frac{\pi}{2}$; $-\frac{\pi}{4}$; $0$; $\frac{5\pi}{2}$; $6\pi$ выберите:

а) нули функции $f(x) = \sin x$,

б) значения аргумента, при которых функция $f(x) = \sin x$ принимает наибольшее значение.

а) нули функции $f(x) = \sin x$

Нулями функции являются значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для функции $f(x) = \sin x$ это означает решение уравнения $\sin x = 0$.

Общее решение этого уравнения имеет вид $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Это означает, что синус равен нулю для углов, которые являются целыми кратными $\pi$.

Проверим каждое из предложенных чисел:

• $x = -10\pi$: Это число имеет вид $k\pi$ при $k = -10$. Так как $-10$ — целое число, то $\sin(-10\pi) = 0$. Подходит.
• $x = -\frac{7\pi}{2}$: Это число не является целым кратным $\pi$. $\sin(-\frac{7\pi}{2}) = \sin(-4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• $x = -3\pi$: Это число имеет вид $k\pi$ при $k = -3$. Так как $-3$ — целое число, то $\sin(-3\pi) = 0$. Подходит.
• $x = -\frac{\pi}{2}$: Это число не является целым кратным $\pi$. $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
• $x = -\frac{\pi}{4}$: Это число не является целым кратным $\pi$. $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $x = 0$: Это число имеет вид $k\pi$ при $k = 0$. Так как $0$ — целое число, то $\sin(0) = 0$. Подходит.
• $x = \frac{5\pi}{2}$: Это число не является целым кратным $\pi$. $\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• $x = 6\pi$: Это число имеет вид $k\pi$ при $k = 6$. Так как $6$ — целое число, то $\sin(6\pi) = 0$. Подходит.

Ответ: $-10\pi; -3\pi; 0; 6\pi$.

б) значения аргумента, при которых функция $f(x) = \sin x$ принимает наибольшее значение

Наибольшее значение функции $f(x) = \sin x$ равно $1$. Нам нужно найти такие значения аргумента $x$ из предложенного списка, для которых $\sin x = 1$.

Общее решение уравнения $\sin x = 1$ имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Проверим каждое из предложенных чисел:

• $x = -\frac{7\pi}{2}$: Проверим, можно ли представить это число в виде $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$:
  $-\frac{7\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies -\frac{7}{2} = \frac{1}{2} + 2k \implies 2k = -4 \implies k = -2$.
  Так как $k = -2$ является целым числом, это значение подходит. $\sin(-\frac{7\pi}{2})=1$. Подходит.
• $x = \frac{5\pi}{2}$: Проверим, можно ли представить это число в виде $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$:
  $\frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies \frac{5}{2} = \frac{1}{2} + 2k \implies 2k = 2 \implies k = 1$.
  Так как $k = 1$ является целым числом, это значение подходит. $\sin(\frac{5\pi}{2})=1$. Подходит.

Остальные числа из списка не удовлетворяют условию, как было показано при решении пункта а).

Выделим целую часть в найденных ответах, которые являются неправильными дробями:
$-\frac{7\pi}{2} = -3\frac{1}{2}\pi$
$\frac{5\pi}{2} = 2\frac{1}{2}\pi$

Ответ: $-3\frac{1}{2}\pi; 2\frac{1}{2}\pi$.