Номер 1.159, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.159. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = 2\sin 5x;$

б) $y = 1,5\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right);$

в) $y = \sin 9x + 8;$

г) $y = -0,5\sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right) - 1,2.$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений данных функций, мы будем использовать свойство функции синус, область значений которой находится в промежутке от -1 до 1. То есть, для любого угла $\alpha$ справедливо неравенство: $-1 \le \sin \alpha \le 1$.

а) $y = 2\sin 5x$

1. Исходное неравенство для функции синус:
$ -1 \le \sin 5x \le 1 $

2. Умножим все части неравенства на 2, чтобы получить выражение для $y$:
$ -1 \cdot 2 \le 2\sin 5x \le 1 \cdot 2 $

3. В результате получаем область значений для $y$:
$ -2 \le y \le 2 $

Таким образом, наименьшее значение функции равно -2, а наибольшее – 2.

Ответ: Наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 2.

б) $y = 1,5\sin(x - \frac{\pi}{6})$

1. Значение синуса для аргумента $(x - \frac{\pi}{6})$ также находится в пределах от -1 до 1:
$ -1 \le \sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 1 $

2. Умножим все части этого двойного неравенства на 1,5:
$ -1 \cdot 1,5 \le 1,5\sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 1 \cdot 1,5 $

3. Получаем область значений для $y$:
$ -1,5 \le y \le 1,5 $

Наименьшее значение функции равно -1,5, а наибольшее – 1,5. Преобразуем десятичные дроби в смешанные числа.

Ответ: Наименьшее значение: $-1\frac{1}{2}$, наибольшее значение: $1\frac{1}{2}$.

в) $y = \sin 9x + 8$

1. Область значений для $\sin 9x$:
$ -1 \le \sin 9x \le 1 $

2. Прибавим 8 ко всем частям неравенства, чтобы получить выражение для $y$:
$ -1 + 8 \le \sin 9x + 8 \le 1 + 8 $

3. Это дает нам область значений для функции $y$:
$ 7 \le y \le 9 $

Следовательно, наименьшее значение функции равно 7, а наибольшее – 9.

Ответ: Наименьшее значение: 7, наибольшее значение: 9.

г) $y = -0,5\sin(x + \frac{\pi}{8}) - 1,2$

1. Начнем с базового неравенства для синуса:
$ -1 \le \sin(x + \frac{\pi}{8}) \le 1 $

2. Умножим все части на -0,5. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$ -1 \cdot (-0,5) \ge -0,5\sin(x + \frac{\pi}{8}) \ge 1 \cdot (-0,5) $
$ 0,5 \ge -0,5\sin(x + \frac{\pi}{8}) \ge -0,5 $

3. Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$ -0,5 \le -0,5\sin(x + \frac{\pi}{8}) \le 0,5 $

4. Теперь вычтем 1,2 из всех частей неравенства:
$ -0,5 - 1,2 \le -0,5\sin(x + \frac{\pi}{8}) - 1,2 \le 0,5 - 1,2 $

5. Получаем итоговую область значений для $y$:
$ -1,7 \le y \le -0,7 $

Наименьшее значение функции равно -1,7, а наибольшее – -0,7. Представим -1,7 в виде смешанного числа, а -0,7 в виде обыкновенной дроби.

Ответ: Наименьшее значение: $-1\frac{7}{10}$, наибольшее значение: $-\frac{7}{10}$.