Номер 1.181, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.181. Найдите несколько значений аргумента, при которых функция

$y = \cos x$ принимает значение, равное:

а) $\frac{1}{2}$;

б) $0$;

в) $1$;

г) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $y = \cos x$ принимает заданное значение, необходимо решить соответствующее тригонометрическое уравнение $\cos x = a$ для каждого случая. Общее решение такого уравнения имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ ($n$ – любое целое число). Аргумент $x$ представляет собой угол в радианах.

а) Найдем несколько значений аргумента $x$, при которых $\cos x = \frac{1}{2}$.

Сначала определим главное значение, или арккосинус, для $\frac{1}{2}$. Это угол в промежутке $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Известно, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, следовательно, $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Общая формула для всех решений уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ имеет вид:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем несколько частных решений, подставляя вместо $n$ различные целые значения:

• При $n=0$: $x = \pm \frac{\pi}{3}$. Получаем два значения: $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{3}$.
• При $n=1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
• При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3}$.

Таким образом, мы нашли несколько значений аргумента: $\frac{\pi}{3}$, $-\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{3}$.

Ответ: Например, $x$ может быть равен $\frac{\pi}{3}$, $-\frac{\pi}{3}$, $1\frac{2}{3}\pi$, $2\frac{1}{3}\pi$.

б) Найдем несколько значений аргумента $x$, при которых $\cos x = 0$.

Главное значение $\arccos(0)$ равно $\frac{\pi}{2}$.

Общая формула для решений: $x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Эту формулу можно записать в более простом виде. Косинус равен нулю в точках $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$) на единичной окружности. Эти точки повторяются через каждый полуоборот ($\pi$). Поэтому все решения можно описать формулой:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем несколько частных решений:

• При $k=0$: $x = \frac{\pi}{2}$.
• При $k=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.
• При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$.
• При $k=2$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$.

Ответ: Например, $x$ может быть равен $\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2}$, $1\frac{1}{2}\pi$, $2\frac{1}{2}\pi$.

в) Найдем несколько значений аргумента $x$, при которых $\cos x = 1$.

Главное значение $\arccos(1)$ равно $0$.

Общая формула для решений: $x = \pm 0 + 2\pi n$, что упрощается до:
$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем несколько частных решений:

• При $n=0$: $x = 0$.
• При $n=1$: $x = 2\pi$.
• При $n=-1$: $x = -2\pi$.
• При $n=2$: $x = 4\pi$.

Ответ: Например, $x$ может быть равен $0$, $2\pi$, $-2\pi$, $4\pi$.

г) Найдем несколько значений аргумента $x$, при которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Главное значение $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Общая формула для решений: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем несколько частных решений:

• При $n=0$: $x = \pm \frac{\pi}{6}$. Получаем два значения: $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{6}$.
• При $n=1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
• При $n=-1$: $x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$.

Ответ: Например, $x$ может быть равен $\frac{\pi}{6}$, $-\frac{\pi}{6}$, $1\frac{5}{6}\pi$, $2\frac{1}{6}\pi$.