Номер 1.197, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.197. Постройте график функции:

а) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $y = \cos \left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$;

в) $y = \cos x - 1$;

г) $y = \cos x + 3$;

д) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$.

Для построения графиков заданных функций мы будем использовать метод геометрических преобразований графика базовой функции $y = \cos(x)$. График функции $y = \cos(x)$ — это косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$, с максимумами в точках $x = 2\pi k$ (где $y=1$) и минимумами в точках $x = \pi + 2\pi k$ (где $y=-1$), где $k$ — любое целое число.

а) $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$

Чтобы построить график этой функции, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \cos(x)$.

1. Берем за основу график функции $y = \cos(x)$.
2. Данная функция имеет вид $y = \cos(x - c)$, где $c = \frac{\pi}{6}$. Это соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика вдоль оси абсцисс (оси Ox).
3. Поскольку $c = \frac{\pi}{6} > 0$, сдвиг выполняется вправо на $\frac{\pi}{6}$ единиц.

Таким образом, каждая точка графика $y = \cos(x)$ смещается на $\frac{\pi}{6}$ вправо. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(\frac{\pi}{6}, 1)$, а точка минимума $(\pi, -1)$ — в точку $(\pi + \frac{\pi}{6}, -1) = (\frac{7\pi}{6}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos(x)$ вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ вправо.

б) $y = \cos(x + \frac{2\pi}{3})$

Для построения графика этой функции, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \cos(x)$.

1. Берем за основу график функции $y = \cos(x)$.
2. Данная функция имеет вид $y = \cos(x - c)$, где $c = -\frac{2\pi}{3}$. Это соответствует сдвигу графика вдоль оси абсцисс (оси Ox).
3. Поскольку $c = -\frac{2\pi}{3} < 0$, сдвиг выполняется влево на $\frac{2\pi}{3}$ единиц.

Таким образом, каждая точка графика $y = \cos(x)$ смещается на $\frac{2\pi}{3}$ влево. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(-\frac{2\pi}{3}, 1)$, а точка минимума $(\pi, -1)$ — в точку $(\pi - \frac{2\pi}{3}, -1) = (\frac{\pi}{3}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{2\pi}{3})$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos(x)$ вдоль оси Ox на $\frac{2\pi}{3}$ влево.

в) $y = \cos x - 1$

Для построения графика этой функции, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \cos(x)$.

1. Берем за основу график функции $y = \cos(x)$.
2. Данная функция имеет вид $y = \cos(x) + d$, где $d = -1$. Это соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика вдоль оси ординат (оси Oy).
3. Поскольку $d = -1 < 0$, сдвиг выполняется вниз на 1 единицу.

Таким образом, каждая точка графика $y = \cos(x)$ смещается на 1 единицу вниз. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1-1, 1-1] = [-2, 0]$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(0, 0)$, а точка минимума $(\pi, -1)$ — в точку $(\pi, -2)$.

Ответ: График функции $y = \cos x - 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos(x)$ вдоль оси Oy на 1 единицу вниз.

г) $y = \cos x + 3$

Для построения графика этой функции, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \cos(x)$.

1. Берем за основу график функции $y = \cos(x)$.
2. Данная функция имеет вид $y = \cos(x) + d$, где $d = 3$. Это соответствует сдвигу графика вдоль оси ординат (оси Oy).
3. Поскольку $d = 3 > 0$, сдвиг выполняется вверх на 3 единицы.

Таким образом, каждая точка графика $y = \cos(x)$ смещается на 3 единицы вверх. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1+3, 1+3] = [2, 4]$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(0, 4)$, а точка минимума $(\pi, -1)$ — в точку $(\pi, 2)$.

Ответ: График функции $y = \cos x + 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos(x)$ вдоль оси Oy на 3 единицы вверх.

д) $y = \cos(x + \frac{\pi}{3}) - 2$

Для построения графика этой функции, необходимо выполнить два последовательных преобразования графика функции $y = \cos(x)$.

1. Берем за основу график функции $y = \cos(x)$.
2. Горизонтальный сдвиг: Аргумент функции имеет вид $(x + \frac{\pi}{3})$, что соответствует сдвигу графика $y = \cos(x)$ влево на $\frac{\pi}{3}$ единиц. Получаем промежуточный график функции $y_1 = \cos(x + \frac{\pi}{3})$.
3. Вертикальный сдвиг: К функции прибавляется число -2, что соответствует сдвигу графика $y_1$ вниз на 2 единицы.

В результате этих двух преобразований каждая точка $(x, y)$ на графике $y = \cos(x)$ перемещается в точку $(x - \frac{\pi}{3}, y - 2)$. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1-2, 1-2] = [-3, -1]$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{3}, -1)$, а точка минимума $(\pi, -1)$ — в точку $(\pi - \frac{\pi}{3}, -1-2) = (\frac{2\pi}{3}, -3)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3}) - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos(x)$ вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ влево и затем вдоль оси Oy на 2 единицы вниз.