Номер 1.233, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.233. Найдите нули функции:

а) $y = \cos 2x;$

б) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right).$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для нахождения нулей функции необходимо приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Приравниваем функцию к нулю:

$\cos 2x = 0$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, получаем уравнение для аргумента $2x$:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Приравниваем функцию к нулю:

$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$

Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Для нахождения $x$ перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Выполним вычитание:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.