Номер 1.243, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.243. Решите неравенство $\frac{x+3}{4} - \frac{x}{2} \leq 3$. Верно ли, что неравенство $x + 3 \leq 0$ равносильно данному неравенству?

Решите неравенство $\frac{x+3}{4} - \frac{x}{2} \le 3$

Для решения данного линейного неравенства приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 2 равен 4. Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от дробей. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$4 \cdot \left(\frac{x+3}{4} - \frac{x}{2}\right) \le 4 \cdot 3$

Раскроем скобки:

$4 \cdot \frac{x+3}{4} - 4 \cdot \frac{x}{2} \le 12$

$(x+3) - 2x \le 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$x - 2x + 3 \le 12$

$-x + 3 \le 12$

Перенесем число 3 в правую часть, изменив его знак:

$-x \le 12 - 3$

$-x \le 9$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge -9$

Решением неравенства является промежуток $[-9, +\infty)$.

Ответ: $x \ge -9$.

Верно ли, что неравенство $x + 3 \le 0$ равносильно данному неравенству?

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

1. Множество решений исходного неравенства $\frac{x+3}{4} - \frac{x}{2} \le 3$ мы нашли в предыдущем пункте: $x \ge -9$, или $x \in [-9, +\infty)$.
2. Теперь решим второе неравенство $x + 3 \le 0$:
   $x \le -3$
   Множество решений этого неравенства: $x \in (-\infty, -3]$.
3. Сравним множества решений: $[-9, +\infty)$ и $(-\infty, -3]$.

Эти множества не совпадают. Например, число 0 является решением первого неравенства ($0 \ge -9$), но не является решением второго ($0 \le -3$ — неверно). Следовательно, данные неравенства не являются равносильными.

Ответ: Нет, не верно.