Номер 1.337, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.337. Найдите координаты точки, симметричной точке A(8; -5) относительно оси симметрии параболы $y = 4x^2 + 8x + 3$.

Для нахождения координат точки, симметричной точке $A(8; -5)$ относительно оси симметрии параболы $y = 4x^2 + 8x + 3$, необходимо сначала найти уравнение этой оси.

1. Находим ось симметрии параболы.
Ось симметрии параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, является вертикальной прямой, которая проходит через вершину параболы и задается формулой $x = -\frac{b}{2a}$.
Для параболы $y = 4x^2 + 8x + 3$ имеем коэффициенты $a = 4$ и $b = 8$.
Подставим их в формулу:
$x = -\frac{8}{2 \cdot 4} = -\frac{8}{8} = -1$.
Таким образом, осью симметрии является прямая $x = -1$.

2. Находим координаты симметричной точки.
Пусть искомая точка имеет координаты $A'(x', y')$. Она симметрична точке $A(8; -5)$ относительно прямой $x = -1$.
При симметрии относительно вертикальной прямой ордината (координата $y$) точки остается неизменной:
$y' = -5$.
Абсцисса (координата $x$) симметричной точки определяется из условия, что ось симметрии является серединой отрезка, соединяющего исходную и симметричную точки. Для абсцисс это означает, что их полусумма равна абсциссе оси симметрии:
$\frac{x_A + x'}{2} = -1$.
Подставим известную абсциссу точки $A$, равную 8:
$\frac{8 + x'}{2} = -1$
Теперь решим это уравнение относительно $x'$:
$8 + x' = -1 \cdot 2$
$8 + x' = -2$
$x' = -2 - 8$
$x' = -10$.
Следовательно, координаты симметричной точки $A'$ равны $(-10; -5)$.

Ответ: (-10; -5).