вопрос 2, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Множество чисел $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, является решением уравнения:

a) $\sin x = 1$;

б) $\cos x = 0$;

в) $\operatorname{tg} x = 0$;

г) $\operatorname{ctg} x = 0$.

Выберите правильный ответ.

Для того чтобы определить, решением какого уравнения является множество чисел $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, необходимо найти и проанализировать решения для каждого из предложенных уравнений.

а) Рассмотрим уравнение $\sin x = 1$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решением являются значения угла $x$, для которых синус равен 1. На единичной окружности этому соответствует единственная точка $x=\frac{\pi}{2}$. С учётом периода функции синус, который равен $2\pi$, общее решение уравнения имеет вид: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Это множество решений не совпадает с заданным в условии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, так как период в решении в два раза больше.
Ответ: неверно.

б) Рассмотрим уравнение $\cos x = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решениями являются значения угла $x$, для которых косинус равен 0. На единичной окружности этому соответствуют две точки: $x=\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{3\pi}{2}$. Эти точки диаметрально противоположны и повторяются через каждый полуоборот, то есть с периодом $\pi$. Следовательно, общее решение можно записать в виде $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Это множество решений в точности совпадает с заданным в условии.
Ответ: верно.

в) Рассмотрим уравнение $\text{tg } x = 0$.
Уравнение $\text{tg } x = 0$ равносильно тому, что $\sin x = 0$ при условии, что $\cos x \neq 0$. Решениями уравнения $\sin x = 0$ являются $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, косинус равен $\cos(\pi k) = (-1)^k \neq 0$, так что условие выполняется. Таким образом, общее решение уравнения $\text{tg } x = 0$ есть $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Это множество решений не совпадает с заданным в условии.
Ответ: неверно.

г) Рассмотрим уравнение $\text{ctg } x = 0$.
Уравнение $\text{ctg } x = 0$ равносильно тому, что $\cos x = 0$ при условии, что $\sin x \neq 0$. Как мы выяснили в пункте б), решениями уравнения $\cos x = 0$ являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$ синус равен $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k \neq 0$, так что условие выполняется. Таким образом, общее решение уравнения $\text{ctg } x = 0$ есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Это множество решений также в точности совпадает с заданным в условии.
Ответ: верно.

Итоговый вывод:
Анализ показал, что заданное множество чисел является решением для двух уравнений: б) $\cos x = 0$ и г) $\text{ctg } x = 0$. В тестовых заданиях с выбором одного ответа, как правило, предполагается выбор наиболее "фундаментального" или простого уравнения, если несколько вариантов математически верны. Уравнение $\text{ctg } x = 0$ является следствием уравнения $\cos x = 0$ с учётом области определения котангенса. Поскольку решения $\cos x = 0$ полностью лежат в области определения котангенса, множества решений совпадают. В такой ситуации принято выбирать более простое уравнение с основной тригонометрической функцией.
Следовательно, правильным ответом является вариант б).