вопрос 1, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Из данных уравнений выберите уравнения, не имеющие корней:

a) $\sin x = 2;$

б) $\cos x = 2;$

в) $\operatorname{tg} x = 2;$

г) $\operatorname{ctg} x = 2.$

Для решения данной задачи необходимо проанализировать область значений каждой из представленных тригонометрических функций. Уравнение имеет решение только в том случае, если значение, которому равна функция, входит в её область значений.

• Область значений функции синус ($y = \sin x$) и функции косинус ($y = \cos x$) — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняются неравенства: $-1 \le \sin x \le 1$ и $-1 \le \cos x \le 1$.
• Область значений функции тангенс ($y = \tan x$) и функции котангенс ($y = \cot x$) — это множество всех действительных чисел, то есть промежуток $(-\infty, +\infty)$.

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

a) $\sin x = 2$
Данное уравнение не имеет корней, так как число $2$ не принадлежит области значений функции синус, то есть $2 \notin [-1, 1]$.
Ответ: не имеет корней.

б) $\cos x = 2$
Данное уравнение не имеет корней, так как число $2$ не принадлежит области значений функции косинус, то есть $2 \notin [-1, 1]$.
Ответ: не имеет корней.

в) $\tan x = 2$
Данное уравнение имеет корни, поскольку число $2$ принадлежит области значений функции тангенс, то есть $2 \in (-\infty, +\infty)$. Корни этого уравнения можно найти по формуле $x = \arctan(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: имеет корни.

г) $\cot x = 2$
Данное уравнение имеет корни, поскольку число $2$ принадлежит области значений функции котангенс, то есть $2 \in (-\infty, +\infty)$. Корни этого уравнения можно найти по формуле $x = \text{arccot}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: имеет корни.

Вывод: Из данных уравнений не имеют корней те, в которых синус или косинус равны числу, по модулю превосходящему 1. В данном случае это уравнения a) и б).