Номер 3, страница 131 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

3. Два положительных точечных заряда находятся на расстоянии $r_0 = 10 \text{ см}$ друг от друга. В точке, расположенной на прямой, соединяющей заряды, на расстоянии $r_1 = 8,0 \text{ см}$ от первого заряда модуль напряжённости результирующего электростатического поля равен нулю. Определите отношение зарядов $\frac{Q_1}{Q_2}$.

Дано:

$r_0 = 10$ см

$r_1 = 8,0$ см

$E_{рез} = 0$ в точке на прямой, соединяющей заряды

$Q_1 > 0$, $Q_2 > 0$ (заряды положительные)

$r_0 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

$r_1 = 8,0 \text{ см} = 0,08 \text{ м}$

Найти:

$\frac{Q_1}{Q_2}$

Решение:

Пусть два положительных точечных заряда $Q_1$ и $Q_2$ расположены на одной прямой на расстоянии $r_0$ друг от друга. Результирующая напряжённость электростатического поля $\vec{E}_{рез}$ является векторной суммой напряжённостей полей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$, создаваемых каждым зарядом в отдельности (принцип суперпозиции):

$\vec{E}_{рез} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$

Поскольку оба заряда положительные, векторы напряжённости $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ будут направлены в противоположные стороны только в точках на отрезке, соединяющем заряды. Вне этого отрезка их направления будут совпадать. Следовательно, точка, в которой напряжённость поля равна нулю, находится между зарядами.

Условие, что модуль результирующей напряжённости равен нулю ($E_{рез} = 0$), означает, что векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ равны по модулю и противоположны по направлению:

$E_1 = E_2$

Модуль напряжённости поля точечного заряда на расстоянии $r$ от него определяется по формуле:

$E = k \frac{|Q|}{r^2}$

где $k$ — постоянная в законе Кулона.

Расстояние от точки, где $E_{рез} = 0$, до первого заряда равно $r_1$. Расстояние от этой же точки до второго заряда $Q_2$ будет равно $r_2 = r_0 - r_1$.

Запишем равенство модулей напряжённостей, создаваемых зарядами $Q_1$ и $Q_2$:

$k \frac{|Q_1|}{r_1^2} = k \frac{|Q_2|}{r_2^2}$

Так как заряды положительные, $|Q_1| = Q_1$ и $|Q_2| = Q_2$. Сократив постоянную $k$, получим:

$\frac{Q_1}{r_1^2} = \frac{Q_2}{r_2^2}$

Выразим из этого уравнения искомое отношение зарядов $\frac{Q_1}{Q_2}$:

$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$

Вычислим расстояние $r_2$:

$r_2 = r_0 - r_1 = 10 \text{ см} - 8,0 \text{ см} = 2,0 \text{ см}$

Теперь подставим числовые значения в выражение для отношения зарядов. Можно использовать значения в сантиметрах, так как это отношение, и единицы измерения сократятся.

$\frac{Q_1}{Q_2} = \left(\frac{8,0}{2,0}\right)^2 = 4,0^2 = 16$

Ответ: 16.