Номер 4, страница 131 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

4. Электростатическое поле в точке создано неподвижными точечными зарядами $Q_1 = -4Q$ и $Q_2 = Q$ (рис. 110).

а) Изобразите в выбранном вами масштабе напряжённости $\vec{E}_{1A}$ и $\vec{E}_{2A}$ полей, созданных каждым зарядом в точке A.

б) Обозначьте на рисунке направление результирующей напряжённости $\vec{E}_{A}$.

в) Определите модуль результирующей напряжённости $E_{A}$ поля, если $|Q| = 8,0 \text{ нКл}$.

Рис. 110

а) Изобразите в выбранном вами масштабе напряжённости $\vec{E}_{1A}$ и $\vec{E}_{2A}$ полей, созданных каждым зарядом в точке А.

б) Обозначьте на рисунке направление результирующей напряжённости $\vec{E}_A$.

Для решения задач а) и б) определим направления и соотношение модулей векторов напряженности.

1. Направления векторов:
   Вектор напряженности электрического поля $\vec{E}$ направлен от положительного заряда и к отрицательному.
   • Заряд $Q_1 = -4Q$ отрицательный (при $Q > 0$), поэтому вектор $\vec{E}_{1A}$ в точке А направлен к заряду $Q_1$.
   • Заряд $Q_2 = Q$ положительный, поэтому вектор $\vec{E}_{2A}$ в точке А направлен от заряда $Q_2$.
2. Соотношение модулей векторов:
   Модуль напряженности поля точечного заряда определяется по формуле $E = k \frac{|q|}{r^2}$.
   Пусть сторона одной клетки сетки равна $a$. Из рисунка определим расстояния от зарядов до точки А.
   • Расстояние от $Q_1$ до А: по горизонтали 3 клетки, по вертикали 1 клетка. По теореме Пифагора, квадрат расстояния $r_{1A}^2 = (3a)^2 + (1a)^2 = 10a^2$.
   • Расстояние от $Q_2$ до А: по вертикали 2 клетки. Квадрат расстояния $r_{2A}^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

   Теперь найдем модули напряженностей и их отношение:
   $E_{1A} = k \frac{|Q_1|}{r_{1A}^2} = k \frac{|-4Q|}{10a^2} = k \frac{4|Q|}{10a^2}$
   $E_{2A} = k \frac{|Q_2|}{r_{2A}^2} = k \frac{|Q|}{4a^2}$
   Отношение модулей: $\frac{E_{1A}}{E_{2A}} = \frac{k \frac{4|Q|}{10a^2}}{k \frac{|Q|}{4a^2}} = \frac{4/10}{1/4} = \frac{4}{10} \cdot 4 = \frac{16}{10} = 1.6$.
   Таким образом, вектор $\vec{E}_{1A}$ должен быть в 1.6 раза длиннее вектора $\vec{E}_{2A}$.

3. Результирующий вектор:
   Согласно принципу суперпозиции полей, результирующий вектор напряженности $\vec{E}_A$ равен векторной сумме полей, создаваемых каждым зарядом: $\vec{E}_A = \vec{E}_{1A} + \vec{E}_{2A}$. Графически этот вектор находится по правилу параллелограмма.

На рисунке ниже показаны векторы $\vec{E}_{1A}$ и $\vec{E}_{2A}$ в выбранном масштабе, а также результирующий вектор $\vec{E}_A$, построенный по правилу параллелограмма.

Ответ: Векторы напряженностей $\vec{E}_{1A}$, $\vec{E}_{2A}$ и результирующий вектор $\vec{E}_A$ изображены на рисунке выше.

в) Определите модуль результирующей напряжённости $E_A$ поля, если $|Q| = 8,0$ нКл.

Дано:

$|Q| = 8.0 \text{ нКл}$
$Q_1 = -4Q$, $Q_2 = Q$
Масштаб сетки: 1 клетка = $a = 1 \text{ см}$
Расстояние от $Q_1$ до A: $r_{1A} = \sqrt{10} a$
Расстояние от $Q_2$ до A: $r_{2A} = 2a$
Электрическая постоянная: $k = 9.0 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:
$|Q| = 8.0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$a = 0.01 \text{ м}$
$r_{1A} = \sqrt{10} \cdot 0.01 \text{ м} \implies r_{1A}^2 = 10 \cdot (0.01)^2 = 10 \cdot 10^{-4} = 10^{-3} \text{ м}^2$
$r_{2A} = 2 \cdot 0.01 = 0.02 \text{ м} \implies r_{2A}^2 = (0.02)^2 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

$E_A$

Решение:

Результирующая напряженность в точке А равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых зарядами $Q_1$ и $Q_2$: $\vec{E}_A = \vec{E}_{1A} + \vec{E}_{2A}$.

1. Вычислим модули напряженностей $E_{1A}$ и $E_{2A}$:

$E_{1A} = k \frac{|Q_1|}{r_{1A}^2} = k \frac{4|Q|}{r_{1A}^2} = 9.0 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{4 \cdot 8.0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{10^{-3} \text{ м}^2} = 288 \cdot 10^3 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 2.88 \cdot 10^5 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

$E_{2A} = k \frac{|Q_2|}{r_{2A}^2} = k \frac{|Q|}{r_{2A}^2} = 9.0 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{8.0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = 18 \cdot 10^4 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 1.8 \cdot 10^5 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

2. Модуль результирующего вектора найдем по теореме косинусов:

$E_A^2 = E_{1A}^2 + E_{2A}^2 + 2 E_{1A} E_{2A} \cos{\alpha}$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{E}_{1A}$ и $\vec{E}_{2A}$.

Найдем косинус угла $\alpha$. Вектор, сонаправленный с $\vec{E}_{1A}$, имеет координаты $(-3, -1)$ в системе координат, где ось X направлена вправо, а ось Y — вверх. Вектор, сонаправленный с $\vec{E}_{2A}$, имеет координаты $(0, -1)$.

Косинус угла между векторами $\vec{v}_1 = (-3, -1)$ и $\vec{v}_2 = (0, -1)$ найдем через их скалярное произведение:

$\cos{\alpha} = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1| \cdot |\vec{v}_2|} = \frac{(-3)\cdot0 + (-1)\cdot(-1)}{\sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{0^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

3. Подставим значения в формулу для $E_A^2$:

$E_A^2 = (2.88 \cdot 10^5)^2 + (1.8 \cdot 10^5)^2 + 2 \cdot (2.88 \cdot 10^5) \cdot (1.8 \cdot 10^5) \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}$

$E_A^2 = (10^5)^2 \cdot \left( (2.88)^2 + (1.8)^2 + \frac{2 \cdot 2.88 \cdot 1.8}{\sqrt{10}} \right)$

$E_A^2 = 10^{10} \cdot \left( 8.2944 + 3.24 + \frac{10.368}{3.162} \right)$

$E_A^2 = 10^{10} \cdot (11.5344 + 3.278) = 10^{10} \cdot 14.8124$

$E_A = \sqrt{14.8124 \cdot 10^{10}} \approx 3.8487 \cdot 10^5 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Округляем результат до двух значащих цифр, так как исходное значение заряда $|Q|$ дано с двумя значащими цифрами.

$E_A \approx 3.8 \cdot 10^5 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Ответ: $E_A \approx 3.8 \cdot 10^5 \text{ В/м}$