Номер 2, страница 90 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

2. Жидкое олово при температуре плавления $t_1 = 232 \text{ °C}$ влили в воду массой $m_2 = 2,0 \text{ кг}$, температура которой $t_2 = 12 \text{ °C}$. В результате температура воды повысилась до $t = 32 \text{ °C}$. Определите массу олова. Теплообменом с окружающей средой, теплоёмкостью сосуда, в котором находилась вода, и испарением воды пренебречь. Удельные теплоёмкости: олова $c_1 = 0,25 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}$, воды $c_2 = 4,2 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}$; удельная теплота плавления олова $\lambda_1 = 60,3 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}}$.

Дано:

Температура плавления олова $t_1 = 232^\circ\text{C}$
Масса воды $m_2 = 2,0 \text{ кг}$
Начальная температура воды $t_2 = 12^\circ\text{C}$
Конечная температура смеси $t = 32^\circ\text{C}$
Удельная теплоёмкость олова $c_1 = 0,25 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$
Удельная теплоёмкость воды $c_2 = 4,2 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$
Удельная теплота плавления олова $\lambda_1 = 60,3 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}}$

Перевод в систему СИ:

$c_1 = 0,25 \times 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} = 250 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$
$c_2 = 4,2 \times 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$
$\lambda_1 = 60,3 \times 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 60300 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

Массу олова $m_1$.

Решение:

Согласно условию, теплообменом с окружающей средой, сосудом и испарением воды можно пренебречь. В этом случае выполняется закон сохранения энергии, который для тепловых процессов записывается как уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному более холодными.

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Олово, находящееся в жидком состоянии при температуре плавления, отдает теплоту в два этапа:

1. Кристаллизация (затвердевание) олова при постоянной температуре $t_1$. Количество выделившейся теплоты:

$Q_{крист} = \lambda_1 m_1$

2. Остывание твердого олова от температуры плавления $t_1$ до конечной температуры смеси $t$. Количество выделившейся теплоты:

$Q_{остыв} = c_1 m_1 (t_1 - t)$

Суммарное количество теплоты, отданное оловом, равно:

$Q_{отданное} = Q_{крист} + Q_{остыв} = \lambda_1 m_1 + c_1 m_1 (t_1 - t) = m_1 (\lambda_1 + c_1 (t_1 - t))$

Вода получает теплоту и нагревается от начальной температуры $t_2$ до конечной температуры $t$. Количество полученной теплоты:

$Q_{полученное} = c_2 m_2 (t - t_2)$

Составим уравнение теплового баланса:

$m_1 (\lambda_1 + c_1 (t_1 - t)) = c_2 m_2 (t - t_2)$

Выразим из этого уравнения искомую массу олова $m_1$:

$m_1 = \frac{c_2 m_2 (t - t_2)}{\lambda_1 + c_1 (t_1 - t)}$

Заметим, что в формулы входит разность температур. Так как изменение температуры на 1 градус Цельсия равно изменению на 1 Кельвин ($\Delta t(^\circ\text{C}) = \Delta T(\text{K})$), мы можем подставлять температуры в градусах Цельсия, несмотря на то что удельная теплоемкость дана в $\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m_1 = \frac{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 2,0 \text{ кг} \cdot (32^\circ\text{C} - 12^\circ\text{C})}{60300 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 250 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot (232^\circ\text{C} - 32^\circ\text{C})}$

$m_1 = \frac{4200 \cdot 2,0 \cdot 20}{60300 + 250 \cdot 200} = \frac{168000}{60300 + 50000} = \frac{168000}{110300}$

$m_1 \approx 1,5231 \text{ кг}$

Наименьшее число значащих цифр в исходных данных равно двум (например, $m_2 = 2,0$ кг, $t_2 = 12^\circ\text{C}$). Поэтому округлим полученный результат до двух значащих цифр.

$m_1 \approx 1,5 \text{ кг}$

Ответ: $m_1 \approx 1,5 \text{ кг}$.