Номер 3, страница 90 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

3. В теплоизолированном сосуде, теплоёмкостью которого можно пренебречь, находится вода массой $m_1 = 0,40$ кг при температуре $t_1 = 10 \text{ °С}$. В воду впускают сухой водяной пар массой $m_2 = 50 \text{ г}$, температура которого $t_2 = 100 \text{ °С}$. Определите установившуюся температуру воды в сосуде. Для воды: удельная теплоёмкость $c = 4,2 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$, удельная теплота парообразования $L = 2,26 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}}$.

Дано:

$m_1 = 0,40 \text{ кг}$
$t_1 = 10 \text{ °C}$
$m_2 = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг}$
$t_2 = 100 \text{ °C}$
$c = 4,2 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
$L = 2,26 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}} = 2,26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

$t$ - ?

Решение:

Поскольку сосуд теплоизолирован и его теплоёмкостью можно пренебречь, количество теплоты, отданное горячим телом (водяным паром), равно количеству теплоты, полученному холодным телом (водой).

Процесс теплообмена состоит из трех этапов:
1. Конденсация пара массой $m_2$ при температуре $t_2 = 100 \text{ °C}$. При этом выделяется количество теплоты $Q_1$.
2. Охлаждение образовавшейся из пара воды массой $m_2$ от температуры $t_2$ до конечной температуры $t$. При этом выделяется количество теплоты $Q_2$.
3. Нагревание воды массой $m_1$ от начальной температуры $t_1$ до конечной температуры $t$. При этом поглощается количество теплоты $Q_3$.

Запишем формулы для каждого количества теплоты:
1. Теплота конденсации пара: $Q_1 = L \cdot m_2$.
2. Теплота, выделяемая при охлаждении воды, образовавшейся из пара: $Q_2 = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$.
3. Теплота, поглощаемая при нагревании холодной воды: $Q_3 = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$.

Составим уравнение теплового баланса: количество отданной теплоты равно количеству полученной теплоты.
$Q_{отданное} = Q_{полученное}$
$Q_1 + Q_2 = Q_3$
$L \cdot m_2 + c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Выразим из этого уравнения искомую конечную температуру $t$:
$L \cdot m_2 + c \cdot m_2 \cdot t_2 - c \cdot m_2 \cdot t = c \cdot m_1 \cdot t - c \cdot m_1 \cdot t_1$
$L \cdot m_2 + c \cdot m_2 \cdot t_2 + c \cdot m_1 \cdot t_1 = c \cdot m_1 \cdot t + c \cdot m_2 \cdot t$
$L \cdot m_2 + c \cdot (m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2) = c \cdot (m_1 + m_2) \cdot t$
$t = \frac{L \cdot m_2 + c \cdot (m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2)}{c \cdot (m_1 + m_2)}$

Подставим числовые значения в систему СИ:
$t = \frac{2,26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0,05 \text{ кг} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (0,40 \text{ кг} \cdot 10 \text{ °C} + 0,05 \text{ кг} \cdot 100 \text{ °C})}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (0,40 \text{ кг} + 0,05 \text{ кг})}$
$t = \frac{113000 \text{ Дж} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (4 \text{ кг} \cdot \text{°C} + 5 \text{ кг} \cdot \text{°C})}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0,45 \text{ кг}}$
$t = \frac{113000 \text{ Дж} + 4200 \cdot 9 \text{ Дж}}{1890 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}}$
$t = \frac{113000 \text{ Дж} + 37800 \text{ Дж}}{1890 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}}$
$t = \frac{150800 \text{ Дж}}{1890 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}} \approx 79,8 \text{ °C}$

Ответ: установившаяся температура воды в сосуде составит примерно $79,8 \text{ °C}$.