Номер 4, страница 90 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

4. В теплоизолированном сосуде, теплоёмкостью которого можно пренебречь, находится вода объёмом $V_1 = 3,2$ л при температуре $t_1 = 20$ °С. В воду опускают стальной брусок массой $m_2 = 4,0$ кг, нагретый до температуры $t_2 = 360$ °С. В результате теплообмена вода нагрелась до температуры $t_3 = 50$ °С, а часть её обратилась в пар. Определите массу воды, обратившейся в пар.

Для воды: удельная теплоёмкость $c_1 = 4,2 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг \cdot К}$, плотность $\rho_1 = 1,0 \cdot 10^3 \frac{кг}{м^3}$, удельная теплота парообразования $L_1 = 2,26 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}$, температура кипения $t_К = 100$ °С. Удельная теплоёмкость стали $c_2 = 4,6 \cdot 10^2 \frac{Дж}{кг \cdot К}$.

Дано:

$V_1 = 3,2 \text{ л}$
$t_1 = 20 \text{ }^{\circ}\text{C}$
$m_2 = 4,0 \text{ кг}$
$t_2 = 360 \text{ }^{\circ}\text{C}$
$t_3 = 50 \text{ }^{\circ}\text{C}$
$c_1 = 4,2 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}$ (удельная теплоёмкость воды)
$\rho_1 = 1,0 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)
$L_1 = 2,26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ (удельная теплота парообразования воды)
$t_к = 100 \text{ }^{\circ}\text{C}$ (температура кипения воды)
$c_2 = 4,6 \cdot 10^2 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}$ (удельная теплоёмкость стали)

Перевод в СИ:
$V_1 = 3,2 \text{ л} = 3,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$c_2 = 4,6 \cdot 10^2 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}} = 460 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}$
Разность температур в градусах Цельсия равна разности температур в Кельвинах, поэтому можно использовать значения температур в $^{\circ}\text{C}$ в расчетах с удельной теплоёмкостью, данной в $\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}$.

Найти:

$m_{пара}$ — массу воды, обратившейся в пар.

Решение:

Задача описывает процесс теплообмена в теплоизолированном сосуде. Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное горячим телом (стальным бруском), равно количеству теплоты, полученному холодным телом (водой).

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Сначала найдем массу воды $m_1$ по её объему $V_1$ и плотности $\rho_1$:
$m_1 = \rho_1 V_1 = 1,0 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 3,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 3,2 \text{ кг}$.

Количество теплоты, отданное стальным бруском при остывании от температуры $t_2$ до конечной температуры воды $t_3$:
$Q_{отданное} = c_2 m_2 (t_2 - t_3)$.

Полученное водой тепло идёт на два процесса: нагрев всей массы воды до конечной температуры и парообразование некоторой её части. Условие задачи, где конечная температура воды $50 \text{ }^{\circ}\text{C}$ и при этом часть воды обратилась в пар (что происходит при $100 \text{ }^{\circ}\text{C}$), указывает на сложный процесс. Наиболее вероятная модель для решения состоит в том, что тепло от бруска идет на нагрев той части воды, которая осталась в жидком состоянии (массой $m_1 - m_{пара}$), с $t_1$ до $t_3$, и на нагрев и испарение той части воды, которая обратилась в пар (массой $m_{пара}$). Эта часть нагревается с $t_1$ до $t_к$ и затем испаряется.

Количество теплоты, полученное водой, можно записать как сумму:
$Q_{полученное} = Q_{нагрев\ оставшейся\ воды} + Q_{парообразование}$
$Q_{полученное} = c_1 (m_1 - m_{пара}) (t_3 - t_1) + m_{пара} [c_1(t_к - t_1) + L_1]$.

Составим уравнение теплового баланса:
$c_2 m_2 (t_2 - t_3) = c_1 (m_1 - m_{пара}) (t_3 - t_1) + m_{пара} [c_1(t_к - t_1) + L_1]$.

Раскроем скобки и выразим искомую массу пара $m_{пара}$:
$c_2 m_2 (t_2 - t_3) = c_1 m_1 (t_3 - t_1) - c_1 m_{пара} (t_3 - t_1) + m_{пара} c_1 (t_к - t_1) + m_{пара} L_1$
$c_2 m_2 (t_2 - t_3) - c_1 m_1 (t_3 - t_1) = m_{пара} [-c_1(t_3 - t_1) + c_1(t_к - t_1) + L_1]$
$c_2 m_2 (t_2 - t_3) - c_1 m_1 (t_3 - t_1) = m_{пара} [c_1(t_к - t_3) + L_1]$
$m_{пара} = \frac{c_2 m_2 (t_2 - t_3) - c_1 m_1 (t_3 - t_1)}{c_1(t_к - t_3) + L_1}$.

Подставим числовые значения:
Числитель: $460 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}} \cdot 4,0 \text{ кг} \cdot (360 - 50)\text{ К} - 4,2 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}} \cdot 3,2 \text{ кг} \cdot (50 - 20)\text{ К}$
$= 1840 \cdot 310 \text{ Дж} - 13440 \cdot 30 \text{ Дж} = 570400 \text{ Дж} - 403200 \text{ Дж} = 167200 \text{ Дж}$.

Знаменатель: $4,2 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}} \cdot (100 - 50)\text{ К} + 2,26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$
$= 4200 \cdot 50 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 2260000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 210000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 2260000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 2470000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$.

Вычислим массу пара:
$m_{пара} = \frac{167200 \text{ Дж}}{2470000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} \approx 0,06769 \text{ кг}$.

Округлим результат до двух значащих цифр, так как большинство исходных данных имеют такую точность.
$m_{пара} \approx 0,068 \text{ кг}$ или $68 \text{ г}$.

Ответ: масса воды, обратившейся в пар, составляет приблизительно 0,068 кг.