Номер 5, страница 90 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

5. В калориметр налили воду при температуре $t = 12 ^\circ\text{C}$. При проведении первого опыта в воду поместили лёд массой $m_1 = 0,10$ кг, а при проведении второго — лёд массой $m_2 = 0,20$ кг. В обоих опытах лёд был взят при температуре плавления. Определите установившуюся в калориметре температуру, если и в первом, и во втором опытах она была одинаковая.

Дано:

Начальная температура воды: $t = 12 \text{ °C}$
Масса льда в первом опыте: $m_1 = 0,10 \text{ кг}$
Масса льда во втором опыте: $m_2 = 0,20 \text{ кг}$
Температура льда: $t_{л} = 0 \text{ °C}$ (температура плавления)
Конечная температура в обоих опытах одинакова: $\theta$
Удельная теплоемкость воды: $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплота плавления льда: $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

Установившуюся температуру $\theta$.

Решение:

Пусть $C$ — суммарная теплоемкость исходной воды и калориметра. При установлении теплового равновесия эта система отдает теплоту $Q_{отд}$. Лед, помещенный в калориметр, получает теплоту $Q_{пол}$. По закону сохранения энергии $Q_{отд} = Q_{пол}$.

Рассмотрим несколько возможных сценариев для конечной температуры $\theta$.

1. Предположим, что в обоих опытах весь лед растаял, и конечная температура $\theta > 0 \text{ °C}$.

В этом случае теплота, отданная водой и калориметром, равна $Q_{отд} = C(t - \theta)$. Теплота, полученная льдом, складывается из теплоты на плавление ($Q_{пл} = \lambda m$) и теплоты на нагрев образовавшейся воды от $0 \text{ °C}$ до $\theta$ ($Q_{нагр} = c m \theta$).

Для первого опыта уравнение теплового баланса имеет вид:
$C(t - \theta) = \lambda m_1 + c m_1 \theta$

Для второго опыта:
$C(t - \theta) = \lambda m_2 + c m_2 \theta$

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем их правые части:
$\lambda m_1 + c m_1 \theta = \lambda m_2 + c m_2 \theta$
$\lambda (m_1 - m_2) = c (m_2 - m_1) \theta$
$\lambda (m_1 - m_2) = -c (m_1 - m_2) \theta$

Так как $m_1 \neq m_2$, мы можем разделить обе части уравнения на $(m_1 - m_2)$:
$\lambda = -c \theta$
$\theta = -\frac{\lambda}{c}$

Поскольку удельная теплота плавления $\lambda$ и удельная теплоемкость $c$ являются положительными величинами, вычисленное значение $\theta$ будет отрицательным. Это противоречит нашему исходному предположению, что $\theta > 0 \text{ °C}$. Следовательно, данный сценарий невозможен.

2. Единственная оставшаяся возможность — конечная температура $\theta = 0 \text{ °C}$.

Этот сценарий возможен, если в калориметре установится смесь воды и льда. Проверим, является ли такое решение непротиворечивым. Поскольку во втором опыте масса льда больше, логично предположить, что именно во втором опыте лед мог растаять не полностью, в то время как в первом — полностью.

Пусть во втором опыте (с массой льда $m_2$) лед растаял не полностью. В этом случае конечная температура смеси будет равна температуре плавления, то есть $\theta = 0 \text{ °C}$.

Согласно условию задачи, конечная температура в обоих опытах одинакова. Значит, и в первом опыте конечная температура также должна быть $\theta = 0 \text{ °C}$.

Если в первом опыте конечная температура равна $0 \text{ °C}$, это означает, что теплоты, отданной водой и калориметром при охлаждении до $0 \text{ °C}$, хватило ровно на то, чтобы растопить весь лед массой $m_1$.

Запишем уравнение теплового баланса для первого опыта при этом условии:
$Q_{отд} = Q_{пол}$
$C \cdot (t - 0) = \lambda m_1$
$C \cdot t = \lambda m_1$

Теперь, используя это соотношение, проанализируем второй опыт. Количество теплоты, которое могут отдать вода и калориметр при охлаждении до $0 \text{ °C}$, остается тем же: $Q_{отд} = C \cdot t = \lambda m_1$.

Во втором опыте для плавления всего льда массой $m_2$ требуется количество теплоты $Q_{необх} = \lambda m_2$.

Сравним количество отданной теплоты с необходимым для плавления всего льда во втором опыте:
$Q_{отд} = \lambda m_1 = (3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}) \cdot 0,10 \text{ кг} = 33000 \text{ Дж}$.
$Q_{необх} = \lambda m_2 = (3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}) \cdot 0,20 \text{ кг} = 66000 \text{ Дж}$.

Поскольку $Q_{отд} < Q_{необх}$ ($33000 \text{ Дж} < 66000 \text{ Дж}$), во втором опыте отданной теплоты недостаточно для плавления всего льда. В результате растает только часть льда, и в калориметре установится тепловое равновесие при температуре $0 \text{ °C}$.

Таким образом, сценарий, при котором в обоих опытах устанавливается одинаковая температура $0 \text{ °C}$, является единственно возможным и физически состоятельным. В первом опыте теплоты хватает ровно на плавление всего льда, а во втором — только на плавление части льда.

Ответ: установившаяся в калориметре температура равна $0 \text{ °C}$.