Номер 3, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.3. Решите систему неравенств $\begin{cases} \log_2 (x^2 - 2x - 2) > 0, \\ 2^{2x^2 + 5x + 2} > 1. \end{cases}$

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

1. Решение первого неравенства: $\log_2(x^2 - 2x - 2) > 0$

Данное логарифмическое неравенство включает в себя два условия:

• Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 - 2x - 2 > 0$.
• Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется при потенцировании: $x^2 - 2x - 2 > 2^0$, что равносильно $x^2 - 2x - 2 > 1$.

Решим второе, более сильное, неравенство: $x^2 - 2x - 3 > 0$. Его решение автоматически удовлетворяет и условию ОДЗ, так как если $x^2 - 2x - 3 > 0$, то $x^2 - 2x - 2 = (x^2 - 2x - 3) + 1 > 1 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство выполняется на интервалах вне корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

2. Решение второго неравенства: $2^{2x^2 + 5x + 2} > 1$

Представим $1$ как степень с основанием 2: $1 = 2^0$. Неравенство примет вид:

$2^{2x^2 + 5x + 2} > 2^0$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это позволяет перейти к неравенству для показателей степеней, сохраняя знак:

$2x^2 + 5x + 2 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$

Графиком функции $y = 2x^2 + 5x + 2$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на интервалах вне корней.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty)$.

3. Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$((-\infty; -1) \cup (3; +\infty)) \cap ((-\infty; -2) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty))$

Для нахождения пересечения удобно использовать числовую ось. Отметив на ней точки $-2$, $-1$, $-\frac{1}{2}$, $3$ и соответствующие интервалы, находим общие для обоих решений части.

Пересечением являются интервалы $(-\infty; -2)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$