Номер 9, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.9. Решите неравенство

$\log_{3}^{2}(-x) - \log_{3}x^{2}-3<0.$

Для решения неравенства $ \log_3^2(-x) - \log_3(x^2) - 3 < 0 $ выполним следующие шаги.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Аргументы логарифмических функций должны быть строго положительными. Это дает нам систему из двух условий:

$\begin{cases}-x > 0 \\x^2 > 0\end{cases}$

Из первого условия $ -x > 0 $ следует, что $ x < 0 $. Второе условие $ x^2 > 0 $ выполняется для всех действительных чисел, кроме $ x = 0 $. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ:

$ x < 0 $, или $ x \in (-\infty; 0) $.

2. Преобразуем неравенство.

Воспользуемся свойством логарифма $ \log_a(b^p) = p \log_a|b| $. Применим его ко второму слагаемому:

$ \log_3(x^2) = 2\log_3|x| $

Так как согласно ОДЗ $ x < 0 $, то $ |x| = -x $. Следовательно, мы можем переписать выражение как:

$ \log_3(x^2) = 2\log_3(-x) $

Теперь подставим это в исходное неравенство:

$ \log_3^2(-x) - 2\log_3(-x) - 3 < 0 $

3. Введем замену переменной.

Пусть $ t = \log_3(-x) $. Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно переменной $ t $:

$ t^2 - 2t - 3 < 0 $

Чтобы решить его, найдем корни соответствующего уравнения $ t^2 - 2t - 3 = 0 $. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$ t_1 = -1 $, $ t_2 = 3 $.

Так как графиком функции $ y = t^2 - 2t - 3 $ является парабола с ветвями, направленными вверх, ее значения отрицательны в интервале между корнями.

Таким образом, решение для $ t $ есть $ -1 < t < 3 $.

4. Выполним обратную замену.

Подставим $ \log_3(-x) $ обратно вместо $ t $:

$ -1 < \log_3(-x) < 3 $

Так как основание логарифма $ 3 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Мы можем потенцировать все части двойного неравенства по основанию 3, сохраняя знаки неравенства:

$ 3^{-1} < -x < 3^3 $

$ \frac{1}{3} < -x < 27 $

Умножим все части неравенства на -1, не забывая изменить знаки неравенства на противоположные:

$ -\frac{1}{3} > x > -27 $

Запишем это в более привычном виде:

$ -27 < x < -\frac{1}{3} $

5. Сопоставим решение с ОДЗ.

Найденный интервал $ x \in (-27; -\frac{1}{3}) $ полностью удовлетворяет условию ОДЗ $ x \in (-\infty; 0) $. Следовательно, это и есть окончательный ответ.

Ответ: $ x \in (-27; -\frac{1}{3}) $.