Номер 16, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.16. Решите неравенство:

а) $\log_2 \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x-8} \le 0$;

б) $\log_{0,3} \log_2 \frac{3x-1}{2-x} > 0$;

в) $\log_2 \log_{0,5} \frac{x+1}{x-3} \ge 1$;

г) $\log_{0,5} \lg \frac{x+1}{x-1} \ge 0$.

а) $\log_2 \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x-8} \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. $$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x-8} > 0 \\ \frac{3x+4}{4x-8} > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x-8} > \log_{\frac{1}{2}} 1 $$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный: $$ \frac{3x+4}{4x-8} < 1 $$ Таким образом, ОДЗ определяется системой: $$ \begin{cases} \frac{3x+4}{4x-8} < 1 \\ \frac{3x+4}{4x-8} > 0 \end{cases} \iff 0 < \frac{3x+4}{4x-8} < 1 $$ Решим неравенство $\frac{3x+4}{4x-8} < 1$: $$ \frac{3x+4}{4x-8} - 1 < 0 \implies \frac{3x+4 - (4x-8)}{4x-8} < 0 \implies \frac{-x+12}{4(x-2)} < 0 \implies \frac{x-12}{x-2} > 0 $$ Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, 2) \cup (12, \infty)$.
Решим неравенство $\frac{3x+4}{4x-8} > 0$: Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, -4/3) \cup (2, \infty)$.
Пересечение этих двух решений дает нам ОДЗ: $x \in (-\infty, -4/3) \cup (12, \infty)$.

2. Решим исходное неравенство: $$ \log_2 \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x-8} \le 0 \implies \log_2 \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x-8} \le \log_2 1 $$ Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x-8} \le 1 \implies \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x-8} \le \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} $$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется: $$ \frac{3x+4}{4x-8} \ge \frac{1}{2} \implies \frac{3x+4}{4x-8} - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \frac{2(3x+4) - (4x-8)}{2(4x-8)} \ge 0 $$ $$ \frac{6x+8-4x+8}{8(x-2)} \ge 0 \implies \frac{2x+16}{8(x-2)} \ge 0 \implies \frac{x+8}{x-2} \ge 0 $$ Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, -8] \cup (2, \infty)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $$ ((-\infty, -8] \cup (2, \infty)) \cap ((-\infty, -4/3) \cup (12, \infty)) $$ Итоговое решение: $x \in (-\infty, -8] \cup (12, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -8] \cup (12, \infty)$.

б) $\log_{0.3} \log_2 \frac{3x-1}{2-x} > 0$

1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} \log_2 \frac{3x-1}{2-x} > 0 \\ \frac{3x-1}{2-x} > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $\log_2 \frac{3x-1}{2-x} > \log_2 1$. Так как основание $2>1$, то $\frac{3x-1}{2-x} > 1$. Это неравенство сильнее, чем второе, поэтому достаточно решить только его. $$ \frac{3x-1}{2-x} - 1 > 0 \implies \frac{3x-1-(2-x)}{2-x} > 0 \implies \frac{4x-3}{2-x} > 0 \implies \frac{4x-3}{x-2} < 0 $$ Методом интервалов находим ОДЗ: $x \in (3/4, 2)$.

2. Решим исходное неравенство: $$ \log_{0.3} \log_2 \frac{3x-1}{2-x} > \log_{0.3} 1 $$ Так как основание $0 < 0.3 < 1$, знак неравенства меняется: $$ \log_2 \frac{3x-1}{2-x} < 1 \implies \log_2 \frac{3x-1}{2-x} < \log_2 2 $$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ \frac{3x-1}{2-x} < 2 \implies \frac{3x-1}{2-x} - 2 < 0 \implies \frac{3x-1-2(2-x)}{2-x} < 0 \implies \frac{5x-5}{2-x} < 0 \implies \frac{x-1}{x-2} > 0 $$ Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $$ ((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) \cap (3/4, 2) $$ Итоговое решение: $x \in (3/4, 1)$.

Ответ: $(3/4, 1)$.

в) $\log_2 \log_{0.5} \frac{x+1}{x-3} \ge 1$

1. Найдем ОДЗ. $$ \begin{cases} \log_{0.5} \frac{x+1}{x-3} > 0 \\ \frac{x+1}{x-3} > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $\log_{0.5} \frac{x+1}{x-3} > \log_{0.5} 1$. Так как основание $0 < 0.5 < 1$, знак меняется: $\frac{x+1}{x-3} < 1$. Система для ОДЗ: $0 < \frac{x+1}{x-3} < 1$.
Решаем $\frac{x+1}{x-3} < 1 \implies \frac{x+1-(x-3)}{x-3} < 0 \implies \frac{4}{x-3} < 0 \implies x < 3$.
Решаем $\frac{x+1}{x-3} > 0$. Методом интервалов: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.
Пересечение дает ОДЗ: $x \in (-\infty, -1)$.

2. Решим исходное неравенство: $$ \log_2 \log_{0.5} \frac{x+1}{x-3} \ge \log_2 2 $$ Основание $2>1$, знак сохраняется: $$ \log_{0.5} \frac{x+1}{x-3} \ge 2 \implies \log_{0.5} \frac{x+1}{x-3} \ge \log_{0.5} (0.5)^2 $$ Основание $0 < 0.5 < 1$, знак меняется: $$ \frac{x+1}{x-3} \le 0.25 \implies \frac{x+1}{x-3} - \frac{1}{4} \le 0 \implies \frac{4(x+1)-(x-3)}{4(x-3)} \le 0 $$ $$ \frac{4x+4-x+3}{4(x-3)} \le 0 \implies \frac{3x+7}{x-3} \le 0 $$ Методом интервалов получаем $x \in [-7/3, 3)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $$ [-7/3, 3) \cap (-\infty, -1) $$ Так как $-7/3 = -2\frac{1}{3}$, то $-7/3 < -1$. Итоговое решение: $x \in [-7/3, -1)$.

Ответ: $[-2\frac{1}{3}, -1)$.

г) $\log_{0.5} \lg \frac{x+1}{x-1} \ge 0$

1. Найдем ОДЗ. $\lg$ - это логарифм по основанию 10. $$ \begin{cases} \lg \frac{x+1}{x-1} > 0 \\ \frac{x+1}{x-1} > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $\lg \frac{x+1}{x-1} > \lg 1$. Так как основание $10>1$, то $\frac{x+1}{x-1} > 1$. Это более сильное условие. $$ \frac{x+1}{x-1} - 1 > 0 \implies \frac{x+1-(x-1)}{x-1} > 0 \implies \frac{2}{x-1} > 0 \implies x-1>0 \implies x>1 $$ ОДЗ: $x \in (1, \infty)$.

2. Решим исходное неравенство: $$ \log_{0.5} \lg \frac{x+1}{x-1} \ge \log_{0.5} 1 $$ Основание $0 < 0.5 < 1$, знак меняется: $$ \lg \frac{x+1}{x-1} \le 1 \implies \lg \frac{x+1}{x-1} \le \lg 10 $$ Основание $10 > 1$, знак сохраняется: $$ \frac{x+1}{x-1} \le 10 \implies \frac{x+1}{x-1} - 10 \le 0 \implies \frac{x+1-10(x-1)}{x-1} \le 0 $$ $$ \frac{x+1-10x+10}{x-1} \le 0 \implies \frac{-9x+11}{x-1} \le 0 \implies \frac{9x-11}{x-1} \ge 0 $$ Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, 1) \cup [11/9, \infty)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $$ ((-\infty, 1) \cup [11/9, \infty)) \cap (1, \infty) $$ Так как $11/9 = 1\frac{2}{9} > 1$. Итоговое решение: $x \in [11/9, \infty)$.

Ответ: $[1\frac{2}{9}, \infty)$.