Номер 18, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.18. Найдите сумму целых решений неравенства:

a) $\log_{0.5} (\log_3 (x - 2)) \ge -1$;

б) $\log_{0.5} \log_2 (x^2 - 2) \ge 0$.

а) $ \log_{0.5}(\log_3(x-2)) \ge -1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} \log_3(x-2) > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $ \log_3(x-2) > \log_3(3^0) $. Так как основание логарифма 3 > 1, знак неравенства сохраняется: $ x-2 > 1 $, откуда $ x > 3 $.

Второе неравенство $ x-2 > 0 $ дает $ x > 2 $.

Пересечением этих условий ($x > 3$ и $x > 2$) является $ x > 3 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (3; +\infty) $.

2. Теперь решим исходное неравенство. Так как основание внешнего логарифма 0,5 меньше 1, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

$ \log_3(x-2) \le (0.5)^{-1} $

$ \log_3(x-2) \le 2 $

Теперь решим это логарифмическое неравенство. Основание логарифма 3 больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется:

$ x-2 \le 3^2 $

$ x-2 \le 9 $

$ x \le 11 $

3. Объединим полученное решение с ОДЗ:

$ \begin{cases} x \le 11 \\ x > 3 \end{cases} $

Решением неравенства является полуинтервал $ (3; 11] $.

4. Найдем целые решения, принадлежащие этому полуинтервалу. Это числа: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

5. Вычислим их сумму:

$ S = 4+5+6+7+8+9+10+11 = 60 $.

Ответ: 60.

б) $ \log_{0.5}(\log_2(x^2-2)) \ge 0 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} \log_2(x^2-2) > 0 \\ x^2-2 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $ \log_2(x^2-2) > \log_2(2^0) $. Так как основание 2 > 1, знак неравенства сохраняется: $ x^2-2 > 1 $, откуда $ x^2 > 3 $.

Решением неравенства $ x^2 > 3 $ является $ x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty) $.

Условие $ x^2 > 3 $ является более строгим, чем $ x^2 > 2 $, поэтому ОДЗ: $ x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty) $.

2. Решим исходное неравенство. Основание внешнего логарифма 0,5 меньше 1, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$ \log_2(x^2-2) \le (0.5)^0 $

$ \log_2(x^2-2) \le 1 $

Так как основание внутреннего логарифма 2 больше 1, знак неравенства сохраняется:

$ x^2-2 \le 2^1 $

$ x^2-2 \le 2 $

$ x^2 \le 4 $

Решением этого неравенства является отрезок $ [-2; 2] $.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$ x \in ([-2; 2]) \cap ((-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)) $

Учитывая, что $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, получаем объединение двух промежутков:

$ x \in [-2; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; 2] $

4. Найдем целые решения на этих промежутках.

Для промежутка $ [-2; -\sqrt{3}) $, целым решением является только $ x = -2 $.

Для промежутка $ (\sqrt{3}; 2] $, целым решением является только $ x = 2 $.

Таким образом, целые решения неравенства: -2 и 2.

5. Вычислим их сумму:

$ S = -2 + 2 = 0 $.

Ответ: 0.