Номер 17, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.17. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \log_{0.6} (3x - 7);$

б) $f(x) = \log_{3} \log_{\frac{1}{7}} (6 + 5x).$

а) Для нахождения области определения функции $f(x) = \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \log_{0,6} (3x - 7)$ необходимо, чтобы аргументы обоих логарифмов были строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$$ \begin{cases} \log_{0,6} (3x - 7) > 0 \\ 3x - 7 > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Представим 0 в виде логарифма с основанием 0,6:

$\log_{0,6} (3x - 7) > \log_{0,6}(1)$

Так как основание логарифма $0,6 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 7 < 1$

$3x < 8$

$x < \frac{8}{3}$

Теперь решим второе неравенство системы:

$3x - 7 > 0$

$3x > 7$

$x > \frac{7}{3}$

Объединим решения обоих неравенств:

$$ \begin{cases} x < \frac{8}{3} \\ x > \frac{7}{3} \end{cases} $$

Таким образом, область определения функции задается интервалом $(\frac{7}{3}; \frac{8}{3})$.

Выделим целые части в неправильных дробях: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$ и $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.

Ответ: а) $(\mathbf{2}\frac{1}{3}; \mathbf{2}\frac{2}{3})$

б) Для нахождения области определения функции $f(x) = \log_3 \log_{\frac{1}{7}} (6 + 5x)$ необходимо составить систему неравенств, исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть положительными:

$$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{7}} (6 + 5x) > 0 \\ 6 + 5x > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Представим 0 как логарифм с основанием $\frac{1}{7}$:

$\log_{\frac{1}{7}} (6 + 5x) > \log_{\frac{1}{7}}(1)$

Основание логарифма $\frac{1}{7} < 1$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$6 + 5x < 1$

$5x < 1 - 6$

$5x < -5$

$x < -1$

Теперь решим второе неравенство системы:

$6 + 5x > 0$

$5x > -6$

$x > -\frac{6}{5}$

Объединим решения в систему:

$$ \begin{cases} x < -1 \\ x > -\frac{6}{5} \end{cases} $$

Следовательно, область определения функции - это интервал $(-\frac{6}{5}; -1)$.

Выделим целую часть в неправильной дроби: $-\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5}$.

Ответ: б) $(-\mathbf{1}\frac{1}{5}; -1)$