gdz.by
Номер 22, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко
Авторы: Арефьева И. Г., Пирютко О. Н.
Тип: Сборник задач
Издательство: Народная асвета
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый и повышенный
Цвет обложки: белый с графиком
Допущено Министерством образования Республики Беларусь
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава 3. Логарифмическая функция. Параграф 10. Логарифмические неравенства - номер 22, страница 93.
№21
№22 (с. 93)
Условие. №22 (с. 93)
скриншот условия
10.22. Найдите область определения функции:
a) $f(x) = \log_{0.4}\log_4 \frac{5-x}{x-2};$
б) $f(x) = \log_5\log_{0.5} \frac{3-x}{x+2}.$
Решение. №22 (с. 93)
Решение 2. №22 (с. 93)
а) Для функции $f(x) = \log_{0.4}\log_4 \frac{5-x}{x-2}$ область определения (ОДЗ) задается системой неравенств, исходя из того, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$$ \begin{cases} \log_4 \frac{5-x}{x-2} > 0, \\ \frac{5-x}{x-2} > 0. \end{cases} $$Рассмотрим первое неравенство. Представим 0 как логарифм по основанию 4:
$$ \log_4 \frac{5-x}{x-2} > \log_4 1 $$Поскольку основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$$ \frac{5-x}{x-2} > 1 $$Решим это рациональное неравенство:
$$ \frac{5-x}{x-2} - 1 > 0 $$ $$ \frac{5-x - (x-2)}{x-2} > 0 $$ $$ \frac{5-x-x+2}{x-2} > 0 $$ $$ \frac{7-2x}{x-2} > 0 $$Решим данное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
- $7 - 2x = 0 \implies 2x = 7 \implies x = 3,5$
- $x - 2 = 0 \implies x = 2$
Отметим точки 2 и 3,5 на числовой оси и определим знаки выражения на полученных интервалах. Неравенство выполняется на интервале $(2; 3,5)$.
Заметим, что если выполняется неравенство $\frac{5-x}{x-2} > 1$, то автоматически выполняется и второе неравенство системы $\frac{5-x}{x-2} > 0$. Таким образом, решение первого неравенства является решением всей системы.
Область определения функции: $x \in (2; 3,5)$.
Преобразуем десятичную дробь в смешанное число: $3,5 = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (2; 3\frac{1}{2})$.
б) Для функции $f(x) = \log_5\log_{0.5} \frac{3-x}{x+2}$ область определения (ОДЗ) задается системой неравенств:
$$ \begin{cases} \log_{0.5} \frac{3-x}{x+2} > 0, \\ \frac{3-x}{x+2} > 0. \end{cases} $$Рассмотрим первое неравенство. Представим 0 как логарифм по основанию 0,5:
$$ \log_{0.5} \frac{3-x}{x+2} > \log_{0.5} 1 $$Поскольку основание логарифма $0,5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$$ \frac{3-x}{x+2} < 1 $$Решим это рациональное неравенство:
$$ \frac{3-x}{x+2} - 1 < 0 $$ $$ \frac{3-x - (x+2)}{x+2} < 0 $$ $$ \frac{3-x-x-2}{x+2} < 0 $$ $$ \frac{1-2x}{x+2} < 0 $$Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:
- $1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 0,5$
- $x + 2 = 0 \implies x = -2$
Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty; -2) \cup (0,5; +\infty)$.
Теперь решим второе неравенство системы:
$$ \frac{3-x}{x+2} > 0 $$Методом интервалов находим, что нули числителя и знаменателя равны $x=3$ и $x=-2$. Неравенство выполняется на интервале $(-2; 3)$.
Для нахождения области определения функции найдем пересечение решений двух неравенств:
$$ ((-\infty; -2) \cup (0,5; +\infty)) \cap (-2; 3) $$Пересечением является интервал $(0,5; 3)$.
Ответ: $x \in (0,5; 3)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @gdz_by_belarus
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 22 расположенного на странице 93 к сборнику задач 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №22 (с. 93), авторов: Арефьева (Ирина Глебовна), Пирютко (Ольга Николаевна), базовый и повышенный уровень обучения учебного пособия издательства Народная асвета.