Номер 27, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.27. Решите неравенство:

а) $5^{\log_5(4-9x)} < 31;$

б) $10^{\lg(3x-2)} \le 7;$

в) $9^{\log_3(-x)} < 4.$

а) $5^{\log_5(4-9x)} < 31$

Данное неравенство равносильно системе, которая объединяет область допустимых значений (ОДЗ) логарифма и само неравенство, упрощенное с помощью основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$.

$\begin{cases} 4 - 9x > 0 \\ 4 - 9x < 31 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

1) $4 - 9x > 0 \implies -9x > -4 \implies x < \frac{4}{9}$

2) $4 - 9x < 31 \implies -9x < 27 \implies x > -3$

Пересечением этих двух условий является интервал $(-3; \frac{4}{9})$.

Ответ: $(-3; \frac{4}{9})$.

б) $10^{\lg(3x-2)} \le 7$

Неравенство равносильно системе (учитывая, что $\lg$ - это десятичный логарифм $\log_{10}$):

$\begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ 10^{\lg(3x-2)} \le 7 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ 3x - 2 \le 7 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $3x - 2 > 0 \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}$

2) $3x - 2 \le 7 \implies 3x \le 9 \implies x \le 3$

Пересечением решений является полуинтервал $(\frac{2}{3}; 3]$. Дробь $\frac{2}{3}$ является правильной, поэтому выделение целой части не требуется.

Ответ: $(\frac{2}{3}; 3]$.

в) $9^{\log_3(-x)} < 4$

Сначала определим ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным.

$-x > 0 \implies x < 0$

Теперь преобразуем левую часть неравенства, приведя основание степени к основанию логарифма ($9 = 3^2$):

$9^{\log_3(-x)} = (3^2)^{\log_3(-x)} = 3^{2\log_3(-x)}$

Используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$, получаем:

$3^{2\log_3(-x)} = 3^{\log_3((-x)^2)} = 3^{\log_3(x^2)}$

Неравенство принимает вид:

$3^{\log_3(x^2)} < 4$

По основному логарифмическому тождеству это равносильно неравенству:

$x^2 < 4$

Решением этого квадратного неравенства является интервал $-2 < x < 2$.

Наконец, найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x < 0$):

$\begin{cases} -2 < x < 2 \\ x < 0 \end{cases}$

Итоговым решением является интервал $(-2; 0)$.

Ответ: $(-2; 0)$.