Номер 34, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.34. Решите неравенство $\frac{5^{x^2}-625}{\log_x(x-1)} \ge 0$.

Для решения данного неравенства воспользуемся обобщенным методом интервалов, который включает в себя определение области допустимых значений (ОДЗ) и метод рационализации.

Исходное неравенство:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Для корректности выражения в левой части неравенства должны выполняться следующие условия:

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x-1 > 0 \implies x > 1$.
• Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \ne 1$.
• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\log_x(x-1) \ne 0$, что равносильно $x-1 \ne x^0 \implies x-1 \ne 1 \implies x \ne 2$.

Объединяя все эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

2. Применение метода рационализации.

На области допустимых значений исходное неравенство равносильно неравенству, в котором числитель и знаменатель заменены на более простые выражения, имеющие те же знаки.

• Для числителя: выражение $5^{x^2} - 625$ можно представить в виде $5^{x^2} - 5^4$. Так как показательная функция с основанием $5 > 1$ является возрастающей, знак этого выражения совпадает со знаком разности показателей: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
• Для знаменателя: знак логарифма $\log_a b$ на ОДЗ совпадает со знаком произведения $(a-1)(b-1)$. Следовательно, знак $\log_x(x-1)$ совпадает со знаком выражения $(x-1)(x-1-1) = (x-1)(x-2)$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно на ОДЗ следующему рациональному неравенству:

3. Решение рационального неравенства и нахождение итогового ответа.

Поскольку из ОДЗ следует, что $x \ne 2$, мы можем сократить дробь на множитель $(x-2)$:

Решаем это неравенство методом интервалов. Находим корни числителя ($x=-2$) и знаменателя ($x=1$) и наносим их на числовую ось, определяя знаки на интервалах.

Решением неравенства $\frac{x+2}{x-1} \ge 0$ является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -2] \cup (1, \infty)$.

На последнем шаге необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

Пересечение этих множеств дает итоговый ответ: $(1, 2) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.