Номер 37, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

Логарифмические выражения определены только при выполнении следующих условий:

• Аргумент внутреннего логарифма должен быть положительным:
  $ 3^x - 9 > 0 $
  $ 3^x > 9 $
  $ 3^x > 3^2 $
  Так как основание степени $ 3 > 1 $, то $ x > 2 $.
• Аргумент внешнего логарифма (то есть, внутренний логарифм) также должен быть положительным:
  $ \log_9 (3^x - 9) > 0 $
  Представим $0$ как $ \log_9(1) $. Поскольку основание логарифма $ 9 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:
  $ 3^x - 9 > 1 $
  $ 3^x > 10 $
  Прологарифмируем обе части по основанию 3:
  $ x > \log_3(10) $.
• Основание внешнего логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице:
  $ x > 0 $ и $ x \ne 1 $.

Объединим все полученные условия. Необходимо сравнить $2$ и $\log_3(10)$. Мы знаем, что $3^2 = 9$ и $3^3 = 27$. Следовательно, $ \log_3(9) < \log_3(10) < \log_3(27) $, что означает $ 2 < \log_3(10) < 3 $.
Таким образом, условие $ x > \log_3(10) $ является самым строгим и автоматически обеспечивает выполнение всех остальных условий ($x > 2$, $x > 0$ и $x \ne 1$).
ОДЗ неравенства: $ x \in (\log_3(10), +\infty) $.

Решение логарифмического неравенства зависит от значения его основания $x$. В соответствии с ОДЗ, мы рассматриваем только $ x > \log_3(10) $, что больше 2. Значит, основание $ x > 1 $.

Когда основание логарифма больше 1, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при "снятии" логарифма знак неравенства сохраняется.
Исходное неравенство:
$ \log_x (\log_9 (3^x - 9)) < 1 $
Представим 1 как $ \log_x(x) $:
$ \log_x (\log_9 (3^x - 9)) < \log_x(x) $
Так как $ x > 1 $, получаем:
$ \log_9 (3^x - 9) < x $
Теперь преобразуем правую часть к логарифму по основанию 9. Так как $ 9 > 1 $, функция снова возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
$ \log_9 (3^x - 9) < \log_9(9^x) $
$ 3^x - 9 < 9^x $
$ 3^x - 9 < (3^x)^2 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ y = 3^x $. Учитывая ОДЗ $ x > \log_3(10) $, получаем $ y = 3^x > 3^{\log_3(10)} = 10 $.
Неравенство принимает вид:
$ y - 9 < y^2 $
$ y^2 - y + 9 > 0 $

Это квадратное неравенство относительно $y$. Найдем дискриминант трехчлена $ y^2 - y + 9 $:
$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35 $.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $y^2$ равен $1$ (положительный), парабола $f(y) = y^2 - y + 9$ полностью находится выше оси абсцисс. Это означает, что неравенство $ y^2 - y + 9 > 0 $ выполняется для всех действительных значений $y$.
Следовательно, решение неравенства совпадает с его областью допустимых значений.

Решением исходного неравенства является интервал $ x > \log_3(10) $.
Нам нужно найти наименьшее целое число $x$, удовлетворяющее этому условию.
Мы уже установили, что $ 2 < \log_3(10) < 3 $.
Следовательно, мы ищем наименьшее целое число, которое больше числа, заключенного между 2 и 3.
Ряд целых чисел, удовлетворяющих этому условию, начинается с $3, 4, 5, \dots$
Наименьшее из этих целых чисел — это 3.