Номер 44, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.44. Решите неравенство $\log_2(x(1-x))\le \left|\cos \frac{\pi}{4x}\right| - 2.$

Для решения неравенства $$ \log_2(x(1-x)) \le \left|\cos\frac{\pi}{4x}\right| - 2 $$ проанализируем его левую и правую части.

1. Область допустимых значений (ОДЗ) Неравенство определено, когда выполняются следующие условия:

а) Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$$ x(1-x) > 0 $$

Это квадратное неравенство. Корни уравнения $x(1-x) = 0$ равны $x=0$ и $x=1$. Поскольку ветви параболы $y=x-x^2$ направлены вниз, неравенство выполняется на интервале $x \in (0, 1)$.

б) Знаменатель в аргументе косинуса не должен быть равен нулю:

$$ 4x \neq 0 \implies x \neq 0 $$

Это условие уже включено в интервал $(0, 1)$.

Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \in (0, 1)$.

2. Анализ левой части неравенства

Рассмотрим функцию в левой части: $f(x) = \log_2(x(1-x))$.

Выражение под знаком логарифма, $g(x) = x(1-x) = -x^2 + x$, является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение этой функции достигается в вершине параболы:

$$ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} $$

Максимальное значение $g(x)$ на ОДЗ равно:

$$ g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} $$

Следовательно, на всей области определения $0 < x(1-x) \le \frac{1}{4}$.

Функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей, поэтому ее наибольшее значение достигается при наибольшем значении аргумента:

$$ f(x) = \log_2(x(1-x)) \le \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2(2^{-2}) = -2 $$

Таким образом, левая часть неравенства всегда меньше или равна $-2$.

3. Анализ правой части неравенства

Рассмотрим функцию в правой части: $h(x) = \left|\cos\frac{\pi}{4x}\right| - 2$.

Значения функции косинуса лежат в отрезке $[-1, 1]$. Модуль косинуса принимает значения из отрезка $[0, 1]$:

$$ 0 \le \left|\cos\frac{\pi}{4x}\right| \le 1 $$

Вычитая 2 из всех частей двойного неравенства, получаем оценку для правой части:

$$ 0 - 2 \le \left|\cos\frac{\pi}{4x}\right| - 2 \le 1 - 2 $$

$$ -2 \le h(x) \le -1 $$

Таким образом, правая часть неравенства всегда больше или равна $-2$.

4. Решение неравенства

Исходное неравенство имеет вид $f(x) \le h(x)$. Из проведенного анализа мы знаем, что:

$$ f(x) \le -2 \quad \text{и} \quad h(x) \ge -2 $$

Неравенство $f(x) \le h(x)$ может выполняться только в одном случае: когда обе части равны $-2$. Это приводит к системе уравнений:

$$ \begin{cases} \log_2(x(1-x)) = -2 \\ \left|\cos\frac{\pi}{4x}\right| - 2 = -2 \end{cases} $$

Решим первое уравнение:

$$ \log_2(x(1-x)) = -2 $$

По определению логарифма:

$$ x(1-x) = 2^{-2} = \frac{1}{4} $$

$$ x - x^2 - \frac{1}{4} = 0 $$

$$ 4x^2 - 4x + 1 = 0 $$

$$ (2x - 1)^2 = 0 $$

Единственное решение этого уравнения: $x = \frac{1}{2}$.

Это значение принадлежит ОДЗ $x \in (0, 1)$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению системы:

$$ \left|\cos\frac{\pi}{4x}\right| - 2 = -2 \implies \left|\cos\frac{\pi}{4x}\right| = 0 $$

Подставим $x = \frac{1}{2}$:

$$ \left|\cos\frac{\pi}{4 \cdot \frac{1}{2}}\right| = \left|\cos\frac{\pi}{2}\right| = |0| = 0 $$

Равенство $0=0$ верно. Следовательно, $x = \frac{1}{2}$ является решением системы, а значит, и единственным решением исходного неравенства.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.