Номер 2, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.2. Найдите сумму $x_0 + y_0$, где $(x_0; y_0)$ — решение системы уравнений:

$\begin{cases} \frac{3x - 7}{4} - \frac{2y - 3}{5} = 1, \\ \frac{2x - y}{2} - 1 = y - 2. \end{cases}$

Для нахождения суммы $x_0 + y_0$ сначала необходимо решить данную систему уравнений. Для этого мы упростим каждое уравнение, приведя его к стандартному линейному виду.

Шаг 1: Упрощение уравнений системы

Первое уравнение:

$ \frac{3x - 7}{4} - \frac{2y - 3}{5} = 1 $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20:

$ 20 \cdot \frac{3x - 7}{4} - 20 \cdot \frac{2y - 3}{5} = 20 \cdot 1 $

$ 5(3x - 7) - 4(2y - 3) = 20 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 15x - 35 - 8y + 12 = 20 $

$ 15x - 8y - 23 = 20 $

$ 15x - 8y = 43 $

Второе уравнение:

$ \frac{2x - y}{2} - 1 = y - 2 $

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$ 2 \cdot \left(\frac{2x - y}{2}\right) - 2 \cdot 1 = 2 \cdot (y - 2) $

$ (2x - y) - 2 = 2y - 4 $

Соберем все переменные в левой части, а константы — в правой:

$ 2x - y - 2y = -4 + 2 $

$ 2x - 3y = -2 $

Шаг 2: Решение системы линейных уравнений

В результате упрощений мы получили следующую систему:

$ \begin{cases} 15x - 8y = 43 \\ 2x - 3y = -2 \end{cases} $

Решим эту систему методом сложения (исключения). Умножим первое уравнение на 3, а второе на -8, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$ \begin{cases} (15x - 8y) \cdot 3 = 43 \cdot 3 \\ (2x - 3y) \cdot (-8) = -2 \cdot (-8) \end{cases} $

$ \begin{cases} 45x - 24y = 129 \\ -16x + 24y = 16 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$ (45x - 24y) + (-16x + 24y) = 129 + 16 $

$ 29x = 145 $

$ x = \frac{145}{29} $

$ x_0 = 5 $

Подставим найденное значение $x_0 = 5$ во второе упрощенное уравнение ($2x - 3y = -2$):

$ 2(5) - 3y = -2 $

$ 10 - 3y = -2 $

$ -3y = -12 $

$ y = \frac{-12}{-3} $

$ y_0 = 4 $

Таким образом, решением системы является пара чисел $(x_0; y_0) = (5; 4)$.

Шаг 3: Нахождение суммы

По условию задачи требуется найти сумму $x_0 + y_0$.

$ x_0 + y_0 = 5 + 4 = 9 $

Сумма $x_0 + y_0$ Ответ: 9