Номер 43, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.43. Верно ли, что множеством решений неравенства $(0,25)^{x-3} + \log_{0,5} x \ge 3$ является промежуток (0; 2]?

Чтобы проверить, является ли утверждение верным, необходимо решить неравенство и сравнить полученное множество решений с предложенным промежутком.

Исходное неравенство:

$(0,25)^{x-3} + \log_{0,5} x \ge 3$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго положительным:

$x > 0$

Следовательно, ОДЗ данного неравенства: $x \in (0; +\infty)$.

2. Преобразование неравенства

Для упрощения неравенства приведем основания степени и логарифма к одному числу, например, к 2.

Мы знаем, что:

$0,25 = \frac{1}{4} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$(2^{-2})^{x-3} + \log_{2^{-1}} x \ge 3$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, получим:

$2^{-2(x-3)} + \frac{1}{-1}\log_2 x \ge 3$

$2^{6-2x} - \log_2 x \ge 3$

3. Анализ функции и решение неравенства

Введем функцию $f(x) = 2^{6-2x} - \log_2 x$. Тогда неравенство примет вид $f(x) \ge 3$.

Исследуем эту функцию на монотонность на ее области определения $(0; +\infty)$.

• Функция $y_1(x) = 2^{6-2x}$ является монотонно убывающей, так как это показательная функция с основанием $2 > 1$, показатель которой ($u(x)=6-2x$) является убывающей линейной функцией.
• Функция $y_2(x) = -\log_2 x$ также является монотонно убывающей, так как $\log_2 x$ — возрастающая функция.

Функция $f(x)$ представляет собой сумму двух монотонно убывающих функций, следовательно, $f(x)$ также является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Так как функция монотонна, для решения неравенства $f(x) \ge 3$ достаточно найти корень уравнения $f(x) = 3$. Пусть этот корень равен $x_0$. Тогда решением неравенства будет промежуток $(0; x_0]$.

Решим уравнение $2^{6-2x} - \log_2 x = 3$ методом подбора. Проверим значение $x=2$, которое является правым концом промежутка, указанного в условии.

При $x=2$:

$2^{6-2 \cdot 2} - \log_2 2 = 2^{6-4} - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

Получили верное равенство $3=3$. Значит, $x=2$ является единственным корнем уравнения $f(x)=3$.

Поскольку $f(x)$ — монотонно убывающая функция, неравенство $f(x) \ge 3$ выполняется при $x \le 2$.

4. Итоговое решение и вывод

Теперь необходимо учесть ОДЗ ($x>0$). Совмещая решение $x \le 2$ с ОДЗ, получаем окончательное множество решений неравенства:

$0 < x \le 2$

Это соответствует промежутку $(0; 2]$.

Полученное множество решений совпадает с промежутком, указанным в условии задачи. Следовательно, исходное утверждение верно.

Ответ: да, верно.