Номер 47, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.47. Решите неравенство $(\arcsin x - \frac{\pi}{6}) \lg(x^2 + \frac{9}{25}) > 0$.

Данное неравенство представляет собой произведение двух сомножителей:

$$(\arcsin x - \frac{\pi}{6})\lg\left(x^2 + \frac{9}{25}\right) > 0$$

Произведение двух выражений положительно, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны).

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ) Неравенство содержит две функции, имеющие ограничения на область определения:

1. Для функции $y = \arcsin x$ область определения: $-1 \le x \le 1$.
2. Для функции $y = \lg\left(x^2 + \frac{9}{25}\right)$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2 + \frac{9}{25} > 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, сумма $x^2 + \frac{9}{25}$ всегда положительна. Таким образом, это условие выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, ОДЗ всего неравенства определяется областью определения арксинуса: $x \in [-1, 1]$.

2. Решение неравенства методом случаев

Рассмотрим два случая, при которых произведение будет положительным.

Случай 1: Оба сомножителя положительны

Решаем систему неравенств:

$$\begin{cases} \arcsin x - \frac{\pi}{6} > 0 \\ \lg\left(x^2 + \frac{9}{25}\right) > 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$\arcsin x > \frac{\pi}{6}$

Так как функция $y = \sin t$ является возрастающей на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, к которому принадлежит $\frac{\pi}{6}$, можем применить синус к обеим частям неравенства, сохраняя его знак:

$x > \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \implies x > \frac{1}{2}$

Решим второе неравенство:

$\lg\left(x^2 + \frac{9}{25}\right) > 0 \implies \lg\left(x^2 + \frac{9}{25}\right) > \lg(1)$

Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция $y = \lg t$ является возрастающей, поэтому для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 + \frac{9}{25} > 1$

$x^2 > 1 - \frac{9}{25}$

$x^2 > \frac{16}{25}$

$|x| > \frac{4}{5}$, что равносильно $x \in (-\infty, -\frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений $x > \frac{1}{2}$ и $x \in (-\infty, -\frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, \infty)$ с учетом ОДЗ $x \in [-1, 1]$. Общим решением для этого случая будет $x \in \left(\frac{4}{5}, 1\right]$.

Случай 2: Оба сомножителя отрицательны

Решаем систему неравенств:

$$\begin{cases} \arcsin x - \frac{\pi}{6} < 0 \\ \lg\left(x^2 + \frac{9}{25}\right) < 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$\arcsin x < \frac{\pi}{6} \implies x < \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \implies x < \frac{1}{2}$

Решим второе неравенство:

$\lg\left(x^2 + \frac{9}{25}\right) < 0 \implies \lg\left(x^2 + \frac{9}{25}\right) < \lg(1)$

$x^2 + \frac{9}{25} < 1$

$x^2 < \frac{16}{25}$

$|x| < \frac{4}{5}$, что равносильно $-\frac{4}{5} < x < \frac{4}{5}$.

Найдем пересечение решений $x < \frac{1}{2}$ и $-\frac{4}{5} < x < \frac{4}{5}$ с учетом ОДЗ $x \in [-1, 1]$. Общим решением для этого случая будет $x \in \left(-\frac{4}{5}, \frac{1}{2}\right)$.

3. Итоговое решение

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в двух случаях.

Ответ: $x \in \left(-\frac{4}{5}, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{4}{5}, 1\right]$.