Номер 1, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.1. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{x+y}{2} + \frac{y-x}{3} = 8, \\ \frac{x+y}{3} - \frac{y-x}{4} = 11; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x+y}{8} - \frac{y-x}{6} = 4, \\ \frac{3x+y}{4} + \frac{5y-2x}{3} = 5. \end{cases}$

a) Данная система уравнений:

Для упрощения решения введем новые переменные. Пусть $a = x+y$ и $b = y-x$. Тогда система примет вид:

Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6, а второе уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

После умножения получаем систему линейных уравнений:

Решим эту систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:

Сложим два уравнения:

$(9a + 6b) + (8a - 6b) = 144 + 264$

$17a = 408$

$a = \frac{408}{17} = 24$

Подставим значение $a=24$ в уравнение $3a + 2b = 48$:

$3(24) + 2b = 48$

$72 + 2b = 48$

$2b = 48 - 72$

$2b = -24$

$b = -12$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (-x+y) = 24 + (-12)$

$2y = 12$

$y = 6$

Подставим $y=6$ в первое уравнение $x+y = 24$:

$x+6 = 24$

$x = 18$

Ответ: $x = 18, y = 6$.

б) Данная система уравнений:

Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей. Для первого уравнения наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 6 равно 24. Умножим обе части уравнения на 24:

$24 \cdot (\frac{x+y}{8}) - 24 \cdot (\frac{y-x}{6}) = 24 \cdot 4$

$3(x+y) - 4(y-x) = 96$

$3x + 3y - 4y + 4x = 96$

$7x - y = 96$

Для второго уравнения наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3 равно 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot (\frac{3x+y}{4}) + 12 \cdot (\frac{5y-2x}{3}) = 12 \cdot 5$

$3(3x+y) + 4(5y-2x) = 60$

$9x + 3y + 20y - 8x = 60$

$x + 23y = 60$

Теперь мы имеем упрощенную систему линейных уравнений:

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 7x - 96$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x + 23(7x - 96) = 60$

$x + 161x - 2208 = 60$

$162x = 60 + 2208$

$162x = 2268$

$x = \frac{2268}{162} = 14$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=14$ в выражение для $y$:

$y = 7(14) - 96$

$y = 98 - 96$

$y = 2$

Ответ: $x = 14, y = 2$.