Номер 41, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.41. Найдите все решения неравенства $\frac{\log_{0.5}(x^2+2)}{x^2(x+1)^2} \le 0.$

Для решения неравенства $$ \frac{\log_{0.5}(x^2+2)}{x^2(x+1)^2} \le 0 $$ необходимо определить его область допустимых значений (ОДЗ) и затем решить его методом интервалов или, как в данном случае, упрощением.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется двумя условиями:

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2+2 > 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2+2 \ge 2$. Это условие выполняется всегда.
• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2(x+1)^2 \neq 0$. Это означает, что $x^2 \neq 0$ и $(x+1)^2 \neq 0$. Отсюда получаем $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Анализ и упрощение неравенства.

Знаменатель дроби $x^2(x+1)^2$ представляет собой произведение квадратов и, следовательно, всегда неотрицателен. В области допустимых значений, где $x \neq 0$ и $x \neq -1$, знаменатель строго положителен: $x^2(x+1)^2 > 0$.

Поскольку знаменатель дроби всегда положителен, знак всего выражения зависит только от знака числителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему неравенству в рамках ОДЗ:

3. Решение логарифмического неравенства.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,5:

Неравенство принимает вид:

Так как основание логарифма $0.5$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

Это неравенство выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно $x^2+1 \ge 1 > 0$.

4. Формирование окончательного ответа.

Решением неравенства $\log_{0.5}(x^2+2) \le 0$ является множество всех действительных чисел $x \in (-\infty; +\infty)$. Чтобы получить решение исходного неравенства, необходимо пересечь это множество с найденной ранее областью допустимых значений.

Пересечение $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$ дает нам ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.