Номер 39, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.39. Решите уравнение $|\log_{0.25}(x+3)-5|-|2-\log_{0.25}(x+3)|=3.$

Исходное уравнение:

$$|\log_{0,25}(x+3) - 5| - |2 - \log_{0,25}(x+3)| = 3$$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$$x + 3 > 0 \implies x > -3$$

2. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,25}(x+3)$. Тогда уравнение примет вид:

$$|t - 5| - |2 - t| = 3$$

Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, перепишем $|2 - t|$ как $|t - 2|$:

$$|t - 5| - |t - 2| = 3$$

3. Решим уравнение с модулями методом интервалов. Найдем нули подмодульных выражений: $t=2$ и $t=5$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Рассмотрим каждый случай.

• Случай 1: $t < 2$
  В этом случае $(t-5) < 0$ и $(t-2) < 0$. Раскрываем модули, меняя знак выражений: $$-(t - 5) - (-(t - 2)) = 3$$ $$-t + 5 + t - 2 = 3$$ $$3 = 3$$ Это верное тождество, значит, все значения $t$ из этого интервала ($t < 2$) являются решением.
• Случай 2: $2 \le t < 5$
  В этом случае $(t-5) < 0$, а $(t-2) \ge 0$. $$-(t - 5) - (t - 2) = 3$$ $$-t + 5 - t + 2 = 3$$ $$7 - 2t = 3$$ $$2t = 4$$ $$t = 2$$ Значение $t=2$ входит в рассматриваемый промежуток, следовательно, является решением.
• Случай 3: $t \ge 5$
  В этом случае $(t-5) \ge 0$ и $(t-2) > 0$. $$(t - 5) - (t - 2) = 3$$ $$t - 5 - t + 2 = 3$$ $$-3 = 3$$ Это неверное равенство, решений в этом интервале нет.

4. Объединим решения для $t$. Из первого случая имеем $t < 2$, из второго $t = 2$. Объединяя, получаем $t \le 2$.

5. Выполним обратную замену.

$$\log_{0,25}(x+3) \le 2$$

6. Решим логарифмическое неравенство. Представим $2$ как логарифм по основанию $0,25$:

$$2 = \log_{0,25}((0,25)^2) = \log_{0,25}\left(\left(\frac{1}{4}\right)^2\right) = \log_{0,25}\left(\frac{1}{16}\right)$$

Неравенство принимает вид:

$$\log_{0,25}(x+3) \le \log_{0,25}\left(\frac{1}{16}\right)$$

Поскольку основание логарифма $0,25$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$$x + 3 \ge \frac{1}{16}$$

$$x \ge \frac{1}{16} - 3$$

$$x \ge \frac{1}{16} - \frac{48}{16}$$

$$x \ge -\frac{47}{16}$$

7. Совместим решение с ОДЗ. Мы нашли, что $x \ge -\frac{47}{16}$, а ОДЗ требует $x > -3$.

Сравним $-\frac{47}{16}$ и $-3$. Так как $-\frac{47}{16} = -2\frac{15}{16}$, а $-3 = -2\frac{16}{16}$, то условие $x \ge -2\frac{15}{16}$ является более строгим и уже включает в себя условие ОДЗ.

Таким образом, окончательное решение - это промежуток $\left[-\frac{47}{16}, +\infty\right)$.

Ответ: $x \in [-\textbf{2}\frac{15}{16}; +\infty)$