Номер 33, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.33. Найдите наименьшее целое решение неравенства $\frac{x^2+4x-5}{\lg(x+2)} \ge 0$.

Для решения неравенства $\frac{x^2 + 4x - 5}{\lg(x + 2)} \ge 0$ необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), а затем решить его методом интервалов.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

Неравенство содержит десятичный логарифм в знаменателе, поэтому должны выполняться следующие условия:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x + 2 > 0$, что эквивалентно $x > -2$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\lg(x + 2) \ne 0$. Это означает, что $x + 2 \ne 10^0$, то есть $x + 2 \ne 1$, откуда $x \ne -1$.

Объединив оба условия, получаем ОДЗ: $x \in (-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов.

Для применения метода интервалов найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя находятся из уравнения:

$x^2 + 4x - 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-5$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Корень $x_2 = -5$ не входит в ОДЗ ($-5 \ngtr -2$), поэтому мы его не рассматриваем. Корень $x_1 = 1$ входит в ОДЗ. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точка $x=1$ будет являться решением, и на числовой оси мы её отметим закрашенной точкой.

Нули знаменателя находятся из уравнения:

$\lg(x + 2) = 0$

$x + 2 = 1$

$x = -1$

Эта точка не входит в ОДЗ, поэтому на числовой оси мы её отметим "выколотой" (незакрашенной) точкой.

Теперь нанесём на числовую ось точки $x = -1$ и $x = 1$ и учтём ОДЗ ($x > -2$). Это разбивает область определения на три интервала: $(-2, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Определим знак выражения $f(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{\lg(x + 2)}$ на каждом из интервалов:

• Интервал $(-2, -1)$: Возьмём пробную точку $x = -1.5$.
  Числитель: $(-1.5)^2 + 4(-1.5) - 5 = 2.25 - 6 - 5 = -8.75$ (отрицательный).
  Знаменатель: $\lg(-1.5 + 2) = \lg(0.5)$ (отрицательный, т.к. $0.5 < 1$).
  Знак дроби: $\frac{(-)}{(-)} = +$. Неравенство выполняется.
• Интервал $(-1, 1)$: Возьмём пробную точку $x = 0$.
  Числитель: $0^2 + 4(0) - 5 = -5$ (отрицательный).
  Знаменатель: $\lg(0 + 2) = \lg(2)$ (положительный, т.к. $2 > 1$).
  Знак дроби: $\frac{(-)}{(+)} = -$. Неравенство не выполняется.
• Интервал $(1, +\infty)$: Возьмём пробную точку $x = 2$.
  Числитель: $2^2 + 4(2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7$ (положительный).
  Знаменатель: $\lg(2 + 2) = \lg(4)$ (положительный).
  Знак дроби: $\frac{(+)}{(+)} = +$. Неравенство выполняется.

3. Найдём наименьшее целое решение.

Объединяя интервалы, на которых неравенство выполняется, и включая точку $x=1$, получаем общее решение неравенства:

$x \in (-2, -1) \cup [1, +\infty)$

Теперь найдём наименьшее целое число, принадлежащее этому множеству.

• Интервал $(-2, -1)$ не содержит целых чисел.
• Промежуток $[1, +\infty)$ содержит целые числа $1, 2, 3, \ldots$.

Наименьшим целым числом из всего множества решений является 1.

Ответ: 1