Номер 26, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.26. Решите неравенство:

а) $0,3^{\log_2(3x - 2)} \geq 0,09$;

б) $0,2^{\log_3(2x + 3)} \leq 0,04$;

в) $3^{\log_{0,5}(2x - 1)} \geq \frac{1}{9}$.

a) $0,3^{\log_2(3x-2)} \ge 0,09$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$3x - 2 > 0$
$3x > 2$
$x > \frac{2}{3}$

2. Приведем обе части неравенства к одному основанию $0,3$. Правая часть: $0,09 = (0,3)^2$.
Неравенство принимает вид:
$0,3^{\log_2(3x-2)} \ge 0,3^2$

3. Основание степени $0,3$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:
$\log_2(3x-2) \le 2$

4. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2: $2 = \log_2(2^2) = \log_2(4)$.
$\log_2(3x-2) \le \log_2(4)$

5. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$3x - 2 \le 4$
$3x \le 6$
$x \le 2$

6. Учитывая ОДЗ ($x > \frac{2}{3}$), получаем решение:
$\frac{2}{3} < x \le 2$

Ответ: $x \in (\frac{2}{3}, 2]$.

б) $0,2^{\log_3(2x+3)} \le 0,04$

1. Найдем ОДЗ:
$2x + 3 > 0$
$2x > -3$
$x > -\frac{3}{2}$

2. Приведем обе части неравенства к основанию $0,2$. Правая часть: $0,04 = (0,2)^2$.
$0,2^{\log_3(2x+3)} \le 0,2^2$

3. Так как основание $0,2 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$\log_3(2x+3) \ge 2$

4. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3(9)$.
$\log_3(2x+3) \ge \log_3(9)$

5. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$2x + 3 \ge 9$
$2x \ge 6$
$x \ge 3$

6. Учитывая ОДЗ ($x > -\frac{3}{2}$), решением будет $x \ge 3$.

Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

в) $3^{\log_{0,5}(2x-1)} \ge \frac{1}{9}$

1. Найдем ОДЗ:
$2x - 1 > 0$
$2x > 1$
$x > \frac{1}{2}$

2. Приведем обе части неравенства к основанию 3. Правая часть: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
$3^{\log_{0,5}(2x-1)} \ge 3^{-2}$

3. Так как основание степени $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\log_{0,5}(2x-1) \ge -2$

4. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5: $-2 = \log_{0,5}(0,5^{-2}) = \log_{0,5}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{0,5}(4)$.
$\log_{0,5}(2x-1) \ge \log_{0,5}(4)$

5. Так как основание логарифма $0,5 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$2x - 1 \le 4$
$2x \le 5$
$x \le \frac{5}{2}$

6. Учитывая ОДЗ ($x > \frac{1}{2}$), получаем решение:
$\frac{1}{2} < x \le \frac{5}{2}$
Выделим целую часть в неправильной дроби $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2}]$.