Номер 25, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.25. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^{1-2x} > 32, \\ \log_4 (x-6)^2 \le 1; \end{cases}$ б) $\begin{cases} 3^{2x-6} < \frac{1}{27}, \\ \log_3 (1-x)^2 \le 2. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (\frac{1}{2})^{1-2x} > 32 \\ \log_4(x-6)^2 \le 1 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $(\frac{1}{2})^{1-2x} > 32$.

Приведем обе части к основанию 2:

$$ (2^{-1})^{1-2x} > 2^5 $$

$$ 2^{-(1-2x)} > 2^5 $$

$$ 2^{2x-1} > 2^5 $$

Так как основание $2 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к показателям:

$$ 2x-1 > 5 $$

$$ 2x > 6 $$

$$ x > 3 $$

Решение первого неравенства: $x \in (3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\log_4(x-6)^2 \le 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

$$ (x-6)^2 > 0 $$

Это выполняется для всех $x$, кроме $x=6$. Итак, $x \ne 6$.

Теперь решим само неравенство. Представим 1 как $\log_4 4$:

$$ \log_4(x-6)^2 \le \log_4 4 $$

Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам:

$$ (x-6)^2 \le 4 $$

Это неравенство равносильно $|x-6| \le 2$, или двойному неравенству:

$$ -2 \le x-6 \le 2 $$

Прибавим 6 ко всем частям:

$$ 4 \le x \le 8 $$

Учитывая ОДЗ ($x \ne 6$), получаем решение второго неравенства: $x \in [4; 6) \cup (6; 8]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого неравенства: $x > 3$.

Решение второго неравенства: $x \in [4; 6) \cup (6; 8]$.

Пересечением этих множеств является множество $[4; 6) \cup (6; 8]$.

Ответ: $[4; 6) \cup (6; 8]$.

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 3^{2x-6} < \frac{1}{27} \\ \log_3(1-x)^2 \le 2 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $3^{2x-6} < \frac{1}{27}$.

Приведем обе части к основанию 3:

$$ 3^{2x-6} < 3^{-3} $$

Так как основание $3 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к показателям:

$$ 2x-6 < -3 $$

$$ 2x < 3 $$

$$ x < \frac{3}{2} $$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; \frac{3}{2})$.

2. Решим второе неравенство: $\log_3(1-x)^2 \le 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ):

$$ (1-x)^2 > 0 $$

Это выполняется для всех $x$, кроме $x=1$. Итак, $x \ne 1$.

Теперь решим само неравенство. Представим 2 как $\log_3 3^2 = \log_3 9$:

$$ \log_3(1-x)^2 \le \log_3 9 $$

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

$$ (1-x)^2 \le 9 $$

Это неравенство равносильно $|1-x| \le 3$, или двойному неравенству:

$$ -3 \le 1-x \le 3 $$

Вычтем 1 из всех частей:

$$ -4 \le -x \le 2 $$

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$$ 4 \ge x \ge -2 $$

$$ -2 \le x \le 4 $$

Учитывая ОДЗ ($x \ne 1$), получаем решение второго неравенства: $x \in [-2; 1) \cup (1; 4]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого неравенства: $x < \frac{3}{2}$.

Решение второго неравенства: $x \in [-2; 1) \cup (1; 4]$.

Пересечением этих множеств является $x \in [-2; 1) \cup (1; \frac{3}{2})$.

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $[-2; 1) \cup (1; 1\frac{1}{2})$.