Номер 20, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.20. Найдите сумму целых решений неравенства $\frac{\log_{0.2}(x^2 - 4x + 4)}{x^2 + 2x + 8} \ge 0$.

Для решения данного неравенства выполним следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) и анализ знаменателя.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

Левая часть является полным квадратом:

Это неравенство верно для всех действительных значений $x$, за исключением $x = 2$.

Теперь рассмотрим знаменатель: $x^2 + 2x + 8$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1>0$), значение выражения $x^2 + 2x + 8$ всегда положительно для любого $x$.

Таким образом, ОДЗ для исходного неравенства: $x \neq 2$.

2. Упрощение и решение неравенства.

Так как знаменатель $x^2 + 2x + 8$ всегда положителен, знак дроби совпадает со знаком числителя. Следовательно, исходное неравенство равносильно следующему:

Представим 0 в виде логарифма с основанием 0,2:

Основание логарифма $0,2$ меньше 1, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

Перенесем 1 в левую часть:

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y=x^2-4x+3$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2-4x+3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Решение этого неравенства: $x \in [1, 3]$.

3. Нахождение целых решений и их суммы.

Теперь необходимо учесть ОДЗ ($x \neq 2$). Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют системе:

Решением системы является множество $x \in [1, 2) \cup (2, 3]$.

Целыми числами, которые принадлежат этому множеству, являются $1$ и $3$.

Сумма этих целых решений равна:

Ответ: 4.