Номер 24, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.24. Найдите множество решений неравенства:

a) $\log_{\frac{1}{3}} (x-2)^2 \ge -2;$

б) $\log_{4} (x+2)^2 \le 3.$

a) $\log_{\frac{1}{3}}(x-2)^2 \ge -2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$(x-2)^2 > 0$

Это условие выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме тех, где $x-2=0$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 2$, или $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Преобразуем данное неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$:

$-2 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right) = \log_{\frac{1}{3}}(3^2) = \log_{\frac{1}{3}}(9)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2)^2 \ge \log_{\frac{1}{3}}(9)$

3. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$(x-2)^2 \le 9$

4. Решим полученное квадратное неравенство:

$|x-2| \le \sqrt{9}$

$|x-2| \le 3$

Это равносильно двойному неравенству:

$-3 \le x-2 \le 3$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-3 + 2 \le x \le 3 + 2$

$-1 \le x \le 5$

Таким образом, решение этого неравенства есть отрезок $[-1, 5]$.

5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Необходимо исключить точку $x=2$ из отрезка $[-1, 5]$.

Множество решений: $[-1, 2) \cup (2, 5]$.

Ответ: $x \in [-1, 2) \cup (2, 5]$.

б) $\log_4(x+2)^2 \le 3$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$(x+2)^2 > 0$

Это условие выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме тех, где $x+2=0$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq -2$, или $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.

2. Преобразуем данное неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 4:

$3 = \log_4(4^3) = \log_4(64)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_4(x+2)^2 \le \log_4(64)$

3. Так как основание логарифма $a = 4$ удовлетворяет условию $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$(x+2)^2 \le 64$

4. Решим полученное квадратное неравенство:

$|x+2| \le \sqrt{64}$

$|x+2| \le 8$

Это равносильно двойному неравенству:

$-8 \le x+2 \le 8$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-8 - 2 \le x \le 8 - 2$

$-10 \le x \le 6$

Таким образом, решение этого неравенства есть отрезок $[-10, 6]$.

5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Необходимо исключить точку $x=-2$ из отрезка $[-10, 6]$.

Множество решений: $[-10, -2) \cup (-2, 6]$.

Ответ: $x \in [-10, -2) \cup (-2, 6]$.